Вероятность появления хотя бы одного события

 

Пусть в результате испытания могутпоявиться п событий, независимых в совокупности, либо некоторые из них (в частности, только одно или ни одного), причем вероятности появления каждого из событий известны. Как найти вероятность того, что наступит хотя бы одно из этих событий? Например, если в результате испытания могут появиться три события, то появление хотя бы одного из этих событий означает наступление либо одного, либо двух, либо трех событий. Ответ на поставленный вопрос дает следующая теорема.

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из событий А ₁, А ₂,..., А_п, независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий :

Доказательство. Обозначим через А событие, состоящее в появлении хотя бы одного из событий А ₁, А ₂,..., А_п, События А и (ни одно из событий не наступило) противоположны, следовательно, сумма их вероятностей равна единице:

P (A) +P () = 1.

Отсюда, пользуясь теоремой умножения, получим

P (A) = 1- P () = 1 -P ( ) P ( ) …P (),

или

P (A) = 1 — q ₁ q ₂ ... q_n.

Частный случай. Если события А ₁, А ₂,..., А_п, имеют одинаковую вероятность, равную р, то вероятность появления хотя бы одного из этих событий

P (A) = 1 -qⁿ. (**)

Пример 1. Вероятности попадания в цель при стрельбе из трех орудий таковы: р ₁ = 0,8; р ₁ = О, 7; р ₃ = 0,9. Найти вероятность хотя бы одного попадания (событие А)при одном залпе из всех орудий.

Решение. Вероятность попадания в цель каждым из орудий независит от результатов стрельбы из других орудий, поэтому рассматриваемые события А ₁(попадание первого орудия), А ₂(попадание второго орудия) и А ₃(попадание третьего орудия) независимы в совокупности.

Вероятности событий, противоположных событиям А ₁, А ₂, А ₃, (т. е. вероятности промахов), соответственно равны:

q ₁ = 1 -p ₁ = 1 — 0, 8 = 0, 2; q ₂ = 1 -p ₂ = 1 - 0, 7 = 0, 3;

q ₃ = 1 -р ₃ = 1 - 0, 9 = 0, 1.

Искомая вероятность

Р (A) = 1 — q ₁ q ₂ q ₃= 1 — 0,2• 0,3• 0,1 = 0,994.

Пример 2. В типографии имеется 4 плоскопечатных машины. Для каждой машины вероятность того, что она работает в данный момент, равна 0,9. Найти вероятность того, что в данный момент работает хотя бы одна машина (событие А).

Решение. События «машина работает» и «машина не работает» (в данный момент) — противоположные, поэтому сумма их вероятностей равна единице:

p+q= 1

Отсюда вероятность того, что машина в данный момент не работает, равна

q= 1 -p= 1 - 0, 9 = 0, 1.

Искомая вероятность

Р (А) = 1 — q ⁴ = 1 — 0, 1⁴ = 0, 9999.

Так как полученная вероятность весьма близка к единице, то на основании следствия из принципа практической невозможности маловероятных событий мы вправе заключить, что в данный момент работает хотя бы одна из машин.

Пример 3. Вероятность того, что при одном выстреле стрелок попадает в цель, равна 0,4. Сколько выстрелов должен произвести стрелок, чтобы с вероятностью не менее 0,9 он попал в цель хотя бы один раз?

Решение. Обозначим через А событие «при п выстрелах стрелок попадает в цель хотя бы един раз». События, состоящие в попадании в цель при первом, втором выстрелах и т.д., независимы в совокупности, поэтому применима формула (**)

Р (А) = 1 - qⁿ.

Приняв во внимание, что, по условию, Р (A) 0, 9, р = 0, 4 (следовательно, q= 1 — 0, 4 = 0, 6), получим

1 — 0, 6 ⁿ 0, 9; отсюда0, 6 ⁿ 0, 1.

Прологарифмируем это неравенство по основанию 10:

nlgO, 6 lgO,l.

Отсюда, учитывая, что lgO, 6 < 0, имеем

n lgO,l/lgO, 6 = — 1 / 1, 7782 =— 1 / (— 0, 2218) = 4, 5.

Итак, п 5, т.е. стрелок должен произвести не менее 5 выстрелов.

Пример 4. Вероятность того, что событие появится хотя бы один раз в трех независимых в совокупности испытаниях, равна 0,936. Найти вероятность появления события в одном испытании (предполагается, что во всех испытаниях вероятность появления события одна и та же).

Решение. Так как рассматриваемые события независимы в совокупности, то применима формула (**)

P (A) = 1 -qⁿ.

По условию, Р (A) = 0, 936; п = 3. Следовательно,

0,936=1— q ³, или q ³ = 1—0,936 = 0,064.

Отсюда q= = 0,4.

Искомая вероятность

р= 1 -q= 1 — 0, 4 = 0, 6.

Задачи

1. Вероятность того, что стрелок при одном выстреле попадает в мишень, равна р= 0,9. Стрелок произвел 3 выстрела. Найти вероятность того, что все 3 выстрела дали попадание.

Отв. 0,729.

2. Брошены монета и игральная кость. Найти вероятность совмещения событий: «появился «герб», «появилось 6 очков».

Отв. 1/12.

3. В двух ящиках находятся детали: в первом—10 (из них 3 стандартных), во втором—15 (из них 6 стандартных). Из каждого ящика наудачу вынимают по одной детали. Найти вероятность того, что обе детали окажутся стандартными.

Отв. 0,12.

4. В студии телевидения 3 телевизионных камеры. Для каждой камеры вероятность того, что она включена в данный момент, равна р = 0,6. Найти вероятность того, что в данный момент включена хотя бы одна камера (событие А).

Отв. 0,936.

5. Чему равна вероятность того, что при бросании трех игральных костей 6 очков появится хотя бы на одной из костей (событие А)?

Отв. 91/216.

6. Предприятие изготовляет 95% изделий стандартных, причем из них 86% — первого сорта. Найти вероятность того, что взятое наудачу изделие, изготовленное на этом предприятии, окажется первого сорта.

Отв. 0,817.

7. Монета бросается до тех пор, пока 2 раза подряд она не выпадет одной и той же стороной. Найти вероятности следующих событий: а) опыт окончится до шестого бросания; б) потребуется четное число бросаний.

Отв. а) 15/16; б) 2/3.

8. Из цифр 1, 2, 3, 4, 5 сначала выбирается одна, а затем из оставшихся четырех — вторая цифра. Предполагается, что все 20 возможных исходов равновероятны. Найти вероятность того, что будет выбрана нечетная цифра: а) в первый раз; б) во второй раз; в) в оба раза.

Отв. а) 3/5; б) 3/5; в) 3/10.

9. Вероятность того, что при одном выстреле стрелок попадет в десятку, равна 0,6. Сколько выстрелов должен сделать стрелок, чтобы с вероятностью не менее 0,8 он попал в десятку хотя бы один раз?

Отв. n 2.

10. Три электрические лампочки последовательно включены в цепь. Вероятность того, что одна (любая) лампочка перегорит, если напряжение в сети превысит номинальное, равна 0,6. Найти вероятность того, что при повышенном напряжении тока в цепи не будет.

Отв. 0,936.

11. Вероятность того, что событие А появится хотя бы один раз при двух независимых испытаниях, равна 0,75. Найти вероятность появления события в одном испытании (предполагается, что вероятность появления события в обоих испытаниях одна и та же).

Отв. 0,5.

12. Три команды А ₁, А ₂ ,А ₃, спортивного общества А состязаются соответственно с тремя командами общества В. Вероятности того, что команды общества А выиграют матчи у команд общества В, таковы: при встрече A ₁с В ₁ — 0,8; А ₂с В ₂— 0,4; А ₃с В ₃ — 0,4. Для победы необходимо выиграть не менее двух матчей из трех (ничьи во внимание не принимаются). Победа какого из обществ вероятнее?

Отв. Общества А (Р_A = 0,544 > 1/2).

13. Вероятность поражения цели первым стрелком при одном выстреле равна 0,8, а вторым стрелком—0,6. Найти вероятность того, что цель будет поражена только одним стрелком.

Отв. 0,44.

14. Из последовательности чисел 1, 2, ..., п наудачу одно за другим выбираются два числа. Найти вероятность того, что одно из них меньше целого положительного числа k, а другое больше k, где 1 < k < п.

Отв. [2[ k — 1)(n — k)] / [ n (n— 1)].

Указание. Сделать допущения: а) первое число <k, а второе > k; б) первое число > k, а второе < k.

15. Отдел технического контроля проверяет изделия на стандартность. Вероятность того, что изделие нестандартно, равна 0,1. Найти вероятность того, что: а) из трех проверенных изделий только одно окажется нестандартным; б) нестандартным окажется только четвертое по порядку проверенное изделие.

Отв. а) 0,243; б) 0,0729.

 

Глава четвертая