Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь FAQ Написать работу КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Оценка истинного значения измеряемой величиныСодержание книги
Похожие статьи вашей тематики
Поиск на нашем сайте
Пусть производится п независимых равноточных измерений некоторой физической величины, истинное значение а которой неизвестно. Будем рассматривать результаты отдельных измерений как случайные величины Xl, Х 2,…, Хn. Эти величины независимы (измерения независимы), имеют одно и то же математическое ожидание а (истинное значение измеряемой величины), одинаковые дисперсии σ2 (измерения равноточны) и распределены нормально (такое допущение подтверждается опытом). Таким образом, все предположения, которые были сделаны при выводе доверительных интервалов в двух предыдущих параграфах, выполняются, и, следовательно, мы вправе использовать полученные в них формулы. Другими словами, истинное значение измеряемой величины можно оценивать по среднему арифметическому результатов отдельных измерений при помощи доверительных интервалов. Поскольку обычно σ неизвестно, следует пользоваться формулами, приведенными в § 16. Пример. По данным девяти независимых равноточных измерений физической величины найдены среднее арифметической результатов отдельных измерений =42,319 и «исправленное» среднее квадратическое отклонение s=5,0. Требуется оценить истинное значение измеряемой величины с надежностью γ=0,95. Решение. Истинное значение измеряемой величины равно ее математическому ожиданию. Поэтому задача сводится к оценке математического ожидания (при неизвестном σ) при помощи доверительного интервала , покрывающего а с заданной надежностью γ = 0,95. Пользуясь таблицей приложения 3, по γ = 0,95 и n = 9 находим tγ = 2,31. Найдем точность оценки: . Найдем доверительные границы: = 42,319 - 3,85 = 38,469; = 42,319+3,85 = 46,169. Итак, с надежностью 0,95 истинное значение измеряемой величины заключено в доверительном интервале 38,469 < а < 46,169.
§ 18. Доверительные интервалы для оценки среднего квадратического отклонения σ нормального распределения
Пусть количественный признак X генеральной совокупности распределен нормально. Требуется оценить неизвестное генеральное среднее квадратическое отклонение σ по «исправленному» выборочному среднему квадратическому отклонению s. Поставим перед собой задачу найти доверительные интервалы, покрывающие параметр σ с заданной надежностью γ. Потребуем, чтобы выполнялось соотношение Р (|σ-s|<δ) = γ, или P (s-δ<σ<s+δ)= γ. Для того чтобы можно было пользоваться готовой таблицей, преобразуем двойное неравенство s-δ<σ<s+δ в равносильное неравенство s (1 -δ/s) <σ<s (1 +δ/s). Положив δ/s = q, получим s (1 -q) <σ<s (1 +q). (*) Остается найти q. С этой целью введем в рассмотрение случайную величину «хи»: где п - объем выборки. Как было указано [см. § 16, пояснение, соотношение (***)], величина S 2(n— 1) /σ 2распределена по закону χ2 с п- 1степенями свободы, поэтому квадратный корень из нее обозначают через χ.
Плотность распределения χ имеет вид (см. пояснение в конце параграфа) . (**) Это распределение не зависит от оцениваемого параметра σ, а зависит лишь от объема выборки п. Преобразуем неравенство (*) так, чтобы оно приняло вид χ1< χ< χ2. Вероятность этого неравенства (см. гл. XI, § 2) равна заданной вероятности γ, т.е. . Предполагая, что q < 1, перепишем неравенство (*) так: . Умножив все члены неравенства на , получим , или . Вероятность того, что это неравенство, а следовательно, и равносильное ему неравенство (*) будет осуществлено, равна . Из этого уравнения можно по заданным п и γнайти q. Практически для отыскания q пользуются таблицей приложения 4. Вычислив по выборке s и найдя по таблице q, получим искомый доверительный интервал (*), покрывающий σ с заданной надежностью γ, т. е. интервал s (1 -q) <σ<s (1 +q). Пример 1. Количественный признак X генеральной совокупности распределен нормально. По выборке объема п = 25 найдено «исправленное» среднее квадратическое отклонение s = 0,8. Найти доверительный интервал, покрывающий генеральное среднее квадратическое отклонение σ с надежностью 0,95.
Решение. По таблице приложения 4 по данным γ = 0,95 и n = 25 найдем q = 0, 32. Искомый доверительный интервал (*) таков: 0,8 (1—0,32) < σ < 0,8 (1+0,32), или 0,544 < σ < 1,056. Замечание. Выше предполагалось, что q < 1. Если q > 1, то неравенство (*) примет вид (учитывая, что σ> 0) 0 < σ< s (1 +q), или (после преобразований, аналогичных случаю q < 1) Следовательно, значения q > 1 могут быть найдены из уравнения Практически для отыскания значений q > 1, соответствующих различным заданным n и γ, пользуются таблицей приложения 4. Пример 2. Количественный признак X генеральной совокупности распределен нормально. По выборке объема n =10 найдено «исправленное» среднее квадратическое отклонение s =0,16. Найти доверительный интервал, покрывающий генеральное среднее квадратическое отклонение σ с надежностью 0,999. Решение. По таблице приложения 4 по данным γ=0,999 и n =10 найдем q =1,80 (q> 1). Искомый доверительный интервал таков: 0 < σ < 0,16(1 + 1,80), или 0 < σ < 0,448.
Пояснение. Покажем, что плотность распределения χ имеет вид (**). Если случайная величина X распределена по закону χ2 с k = n- 1 степенями свободы, то ее плотность распределения (см. гл. XII, § 13) , или после подстановки k= n- 1 . Воспользуемся формулой (см. гл. XII, § 10) , чтобы найти распределение функции . Отсюда обратная функция и . Так как χ > 0, то , следовательно, . Выполнив элементарные преобразования и изменив обозначения (g (χ),заменим на R (χ, n)), окончательно получим . Оценка точности измерений
В теории ошибок принято точность измерений (точность прибора) характеризовать с помощью среднего квадратического отклонения σ случайных ошибок измерений. Для оценки σ используют «исправленное» среднее квадратическое отклонение s. Поскольку обычно результаты измерений взаимно независимы, имеют одно и то же математическое ожидание (истинное значение измеряемой величины) и одинаковую дисперсию (в случае равноточных измерений), то теория, изложенная в предыдущем параграфе, применима для оценки точности измерений. Пример. По 15 равноточным измерениям найдено «исправленное» среднее квадратическое отклонение s = 0,12. Найти точность измерений с надежностью 0,99. Решение. Точность измерений характеризуется средним квадратическим отклонением σ случайных ошибок, поэтому задача сводится к отысканию доверительного интервала (*), покрывающего σ с заданной надежностью 0,99 (см. § 18). По таблице приложения 4 по γ = 0,99 и n =15 найдем q = 0,73. Искомый доверительный интервал 0,12(1—0,73) < σ < 0,12(1+0,73), или 0,03 < σ < 0,21.
|
||||
Последнее изменение этой страницы: 2016-09-19; просмотров: 1396; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.191.238.6 (0.007 с.) |