Определение величины ошибки при прямых измерениях

Пусть, измеряя некоторую величину х, мы получим серию результатов х₁, х₂, х₃,..... х_n. Которое из этих значений является наиболее близким к истинному?

Теория ошибок указывает, что наиболее близким к истинному значению измеряемой величины будет среднее арифметическое значение ряда отдельных измерений, т. е.

.

Причем, при n®¥, x_ср®х_ист.

При вычислении среднего арифметического ошибки в сторону увеличения и уменьшения величины наилучшим образом компенсируют друг друга. Величина

называется отклонением данного i - того измерения от среднего.

Абсолютная величина наибольшего из этих отклонений определяет границы интервала значений искомой величины.

Предположим, при измерении величины x мы получим ряд значений 1,790; 1,795; 1,800; 1,805; 1,810; а пользуясь другим прибором, получим 1,76; 1,78; 1,80; 1,82; 1,84. В обоих случаях среднее значение x = 1,80, но интервалы допустимых значений в первом и во втором случаях не одинаковы и равны соответственно (1,79 1,81) и (1,76 1,84), таким образом, во втором случае он шире.

Если повторять измерение большое число раз, то внутри интервала, ограниченного наибольшими отклонениями, будет располагаться все большее число полученных значений. Если весь интервал разброса разбить на равные участки dх, то большее количество результатов в них будет помещаться на центральных участках, а по мере удаления от центра число результатов, приходящихся на участок dх, будет убывать. Обозначим относительное число всех измерений, приходящихся на участок dх, через , где n - общее число всех измерений. Тогда на единичный отрезок интервала придется относительное число значений .

Если мы вычертим график зависимости от х, то получим кривую, показанную на рис. 1.

 

 

Из рисунка 1 видно, что чем больше участок dх удален от х_ср, тем меньше результатов измерения на него приходится. Не вникая в детали статистической теории погрешности, скажем лишь, что при вид кривой, приведенной на рис. I, хорошо описывается функцией Гаусса

,

где - так называемое среднеквадратичное отклонение, определяющее ширину интервала разброса результатов измерения. Величина определяет вид кривой Гаусса: чем меньше величина , тем быстрее функция стремится к нулю по обе стороны от х_ср. Приближенно можно считать, что полуширина кривой Гаусса на ее полувысоте равняется . Наилучшим приближением к является величина S, которую называют среднеквадратичной ошибкой отдельного измерения:

при .

Если мы провели не одну, а несколько серий (m - серий) измерений и в каждой получили среднеарифметическое значение х_ср.к(где к - номер серии), то эти значения также распределились вокруг искомого х_ист, но уже с меньшим разбросом, который характеризовался бы среднеквадратичной ошибкой среднего

. связано с простым соотношением

,

отсюда, считая S хорошим приближением для , получим

или .

На практике удобнее определять по формуле Питерса:

где

Истинное значение измеряемой величины принципиально недостижимо, за исключением редких случаев. Величина определяет максимальные границы разброса полученных значений; внутри интервала х_ср ± s_m лежит лишь около 68% всех измеренных значений, т. е. вероятность попадания искомой величины в данный интервал составляет 68% или 0,68. Эта величина носит название доверительной вероятности (коэффициента надежности), а сам интервал х_ср ± s_m – называется доверительным интервалом. Величина a возрастает от 95% или 0,95 внутри интервала х_ср ± 2s_m и до 99,7% или 0,997 внутри интервала х_ср ± 3s_m.

 

х_ср- σ _m х_ср х_ср+ σ _m

х

2 σ _m

 

Рис.2

Однако все эти рассуждения справедливы лишь в случае точно заданной величины . Так как мы используем вместо лишь его приближенное значение S и ограничиваемся сравнительно небольшим числом измерений, то определение ширины доверительного интервала, внутри которого с определенной вероятностью находится искомое значение:

Dх = t_an s_m,

будет определяться коэффициентом t_an, зависящим как от числа проведенных измерений (n), так и заданной доверительной вероятностью (). Эти коэффициенты - коэффициенты Стьюдента (такой псевдоним принял английский химик Госсет) рассчитаны для различных n и и приводятся в таблицах.

Так, для n = 5 и = 0,95 = 2,8, а ширина доверительного интервала . Эта величина и должна приводиться в качестве ошибки.

Значение коэффициентов Стьюдента приводится в таблице 1.

 

Таблица №1

Коэффициенты Стьюдента

 

a №	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	0,95	0,96	0,99	0,999
	0,16	0,33	0,51	0,73	1,00	1,88	2,0	3,1	6,3	12,7	31,8	63,7	636,3
					0,82	1,06	1,8	1,9	2,9	4,3	7,0	9,9	81,6
						0,98	1,2	1,6	2,4	3,2	4,5	5,8	12,9
							1,2	1,5	2,1	2,8	3,7	4,6	8,6
							1,1	1,5	2,0	2,6	3,4	4,0	6,9
							1,1	1,4	1,9	2,4	3,1	3,7	6,0
							1,1	1,4	1,9	2,4	3,0	3,5	5,4
							1,1	1,4	1,9	2,3	2,9	3,4	5,0
							1,1	1,4	1,8	2,3	2,8	3,3	4,8
							1,1	1,4	1,8	2,2	2,8	3,2	4,6
							1,1	1,4	1,8	2,2	2,7	3,1	4,5
							1,1	1,4	1,8	2,2	2,7	3,1	4,3
							1,1	1,4	1,8	2,2	2,7	3,0	4,2
							1,1	1,3	1,8	2,1	2,6	3,0	4,1
												2,9	4,0

Относительная ошибка

 

Абсолютная погрешность измерения не характеризует полностью точности проведенных измерений.

Действительно, если мы измерили массу с точностью , то точность измерений в значительной мере будет зависеть от того, какую величину мы измерили: 2 кг или 2 г. Поэтому для того, чтобы иметь возможность сравнивать точность различных измерений величин разной размерности, принято находить среднюю относительную погрешность результата, которая определяется отношением абсолютной ошибки к среднему арифметическому значению измеряемой величины: .

ε - безразмерная величина, определяемая в процентах.

 

4. Пример записи результатов прямых измерений

В лаборатории при измерении любой величины результаты должны заноситься в таблицу, которую необходимо составить заранее.

Например: необходимо измерить диаметр цилиндра. Для записи результатов измерений составим таблицу:

 

№№ опыта	di, мм	мм
	13,65	0,03
	13,65	0,03
	13,60	0,02
	13,55	0,07
	13,65	0,03
Средние значения	13,62	0,036

 

Далее определим среднюю квадратичную ошибку среднего арифметического, пользуясь формулой Питерса:

выберем доверительную вероятность результата = 0,95, из таблицы №1коэффициент Стьюдента будет: = 2,8, тогда абсолютная погрешность результата Dx = 2,8 ^. 0,0226 = 0,063(мм).

Запишем результат:

Обычно результат округляют до сомнительной цифры. Сомнительной является цифра, разряд которой совпадает с разрядом старшей, отличной от 0, цифры ошибки. В данном результате это цифра 2. Причем, при округлении последняя цифра остается без изменения, если старшая отбрасываемая цифра меньше 5; увеличивается на 1, если эта цифра больше 5. Если отбрасываемая цифра 5, то последняя сохраняется, если она четная, и увеличивается на единицу, если она нечетная.

Исключение: при округлении ошибок (погрешностей) последняя сохраняемая цифра всегда увеличивается на единицу, если только старшая отбрасываемая цифра не нуль.

Ошибки обычно округляются до одной значащей цифры. В некоторых случаях, когда первая значащая цифра меньше или равна 3, оставляются две значащие цифры. Это связано с тем, что сами погрешности определяются с погрешностью, например, при 10 измерениях эта погрешность составляет величину 30%.

Таким образом, результат измерения диаметра после округления запишется:

d = .

Если проведенная серия измерений дала одинаковые результаты, то это означает, что величина случайных отклонений меньше точности прибора. В этом случае за ошибку принимают величину, обусловленную классом точности прибора или половиной цены его наименьшего деления, а в случае, если случайная ошибка и погрешность измерительного прибора сравнимы, то общая ошибка складывается из них. Правила сложения даны ниже.

Суммарная погрешность определяется согласно формуле:

,

где Dх_сл – случайная ошибка, d - погрешность измерительного прибора.