Определение физической величины и ее ошибки при косвенных измерениях

В тех случаях, когда физическая величина не может быть измерена непосредственно, прибегают к косвенным измерениям.

Пусть для нахождения величины N пришлось измерить какие-то величины x,y,z. Величины N,x,y,z, связаны функциональной зависимостью N=f(x,y,z). Результат косвенного измерения величины будет зависеть не только от точности измерений величин, но и от вида функциональной зависимости.

В этом случае средняя абсолютная ошибка ∆N_ср может быть найдена по правилам дифференцирования, если знак дифференциала d заменить знаком ошибки ∆ и выбрать знаки таким образом, чтобы величина ошбки была максимальной, т.е. если полный дифференциал

то

(1)

В частном случае, когда N=f(x), формула (1) принимает вид

т.е. абсолютная ошибка функции равна абсолютной ошибке аргумента, умноженной на производную этой функции.

Относительная ошибка находится по формуле

а так как дифференциал натурального логарифма

то

.

Таким образом, относительная ошибка результата равна полному дифференциалу натурального логарифма функции, определяющей зависимость данной величины от измеряемых величин.

При вычислении надо брать сумму абсолютных значений дифференциалов всех членов логарифма (все частные ошибки складываются) с заменой символа «d» на символ «∆».

Таким образом, относительную ошибку косвенного измерения следует вычислять в такой последовательности:

1) прологарифмировать расчетную формулу;

2) найти полный дифференциал от логарифма;

3) символ «d» заменить на «∆»; знаки выбрать так, чтобы абсолютная величина относительной ошибки была максимальной.

4) Подставить численные значения и расчитать сначала относительную ошибку, а затем абсолютную ошибку.

Некоторые формулы для нахождения абсолютной и относительной погрешности даны в приложении.

 

Некоторые правила приближенных вычислений

Все вычисления, производимые в лаборатории, являются приближенными, т. к. они проводятся с величинами, найденными с некоторой ошибкой. Для этого полезно знать некоторые правила операций с приближенными числами.

1. Бессмысленно вычислять какую-либо величину с точностью, большей, чем исходные данные.

2. Входящие в выражение константы могут быть вычислены с любой степенью точностью, поэтому за их исходное значение берется значение, соответствующее точности исходных данных и не увеличивающее суммарную ошибку.

3. При сложении и вычитании нескольких чисел в окончательном результате сохраняется столько значащих цифр, сколько их в наименее точном числе. (Значащими называются все цифры от 1 до 9, а также 0, если он стоит справа).

Пример: 2, 90 + 1, 457 - 1, 202 = 3, 15

4. При умножении и делении приближенных чисел в результате также сохраняется число значащих цифр, соответствующее числу с наименьшей точностью.

5. При возведении в степень приближенного числа в результате сохраняют столько значащих цифр, сколько их имеет возводимое число.

6. При извлечении корня результат вычисляется до стольких значащих цифр, сколько их у подкоренного выражения.

7. Если все указанные операции промежуточные, то в результате берут на одну значащую цифру больше. В конечном результате последняя цифра отбрасывается по правилам округления.

 

Построение графиков

Часто при обработке результатов эксперимента для наглядного представления возникающей зависимости некоторых физических величин используют графики. Их строят обычно в прямоугольной (декартовой) системе координат. Координатные оси заканчиваются стрелками, показывающими направления возрастания отложенных по осям величин. У концов осей приводятся условные обозначения этих величин с указанием единиц измерения. По горизонтальной оси (абсцисс) принято откладывать независимую переменную Х, т.е. аргумент, в произвольно выбранном масштабе, а по вертикальной очи (ординат) – также в произвольном масштабе – определяемую в опыте величину Y. Полученные на плоскости точки соединяют между собой п л а в н о й кривой. Следует иметь в виду, что в результате измерений величин х, y мы получаем точку, а область со сторонами 2∆ х, и 2∆y. Поэтому проводить линию графика нужно через эти области, при этом сами точки не обязательно точно ложатся на плавную кривую (рис).

 

y

 

 

2∆ y

 

 

2∆ х

 

x

Рис.3

 

Наиболее удобно выполнить графики на миллиметровой бумаге, выбрав предварительно масштаб таким образом, чтобы график получился не очень мелким и не слишком сжатым или растянутым по какой–либо из осей. Экспериментальные точки не должны сливаться друг с другом.

Если наименьшие значения величин, откладываемых по осям, лежат далеко от нуля, то соответствующие им деления на осях откладывают вблизи точки пересечения осей координат, которая в этом случае не совпадает с нулевым значением измеренной величины. Начало координат не обозначается.

Нельзя соединять соседние точки отрезками прямой, образующими ломаную линию. Это может означать, что одна величина изменяется относительно другой скачкообразно, что маловероятно.

Как уже отмечалось, не все точки графика ложатся на изображаемую кривую. Поэтому следует проводить плавную кривую в наиболее преимущественном направлении, чтобы по обе стороны от нее располагалось примерно одинаковое число точек.

Графическое представление результатов эксперимента полезно, когда устанавливают вид функциональной связи между величинами; определяют среднее значение при известной функциональной связи; изучают связь между величинами, которые трудно представить в виде формулы (аналитически); наконец, когда сравнивают теорию с экспериментом.