Отыскание параметров выборочного уравнения прямой линии среднеквадратичной регрессии по не сгруппированным данным

Пусть изучается система количественных признаков (X, Y). В результате n независимых опытов получены и пар чисел (х₁, у₁), (х₂, y₂),..., (х_n, y_n).

Найдем по данным наблюдений выборочное уравнение прямой линии среднеквадратичной регрессии (см. гл. XIV, § 20). Для определенности будем искать уравнение

=kx+b

регрессии Y на X.

Поскольку различные значения x признака Х и соответствующие им значения у признака Y наблюдались по одному разу, то группировать данные нет необходимости. Также нет надобности использовать понятие условной средней, поэтому искомое уравнение можно записать так:

У = kх + b.

Угловой коэффициент прямой линии регрессии Y на Х называют выборочным коэффициентом регрессии Y на Х и обозначают через ρ_yx; он является оценкой коэффициента регрессии β (см. гл. XIV, § 20).

Итак, будем искать выборочное уравнение прямой линии регрессии Y на Х вида

Y = ρ_yxx + b. (*)

 

Подберем параметры ρ_yx и b так, чтобы точки (х₁, у₁), (х₂, y₂),..., (х_n, y_n), построенные по данным наблюдений, на плоскости хОу лежали как можно ближе к прямой (*). Уточним смысл этого требования. Назовем отклонением разность

Y_i - y_i (i = 1, 2..... n),

где Y_i—вычисленная по уравнению (*) ордината, соответствующая наблюдаемому значению х_i; у_i—наблюдаемая ордината, соответствующая х_i.

Подберем параметры ρ_yx и b так, чтобы сумма квадратов отклонений была минимальной (в этом состоит сущность метода наименьших квадратов). Так как каждое отклонение зависит от отыскиваемых параметров, то и сумма квадратов отклонений есть функция F этих параметров (временно вместо ρ_yx будем писать ρ):

 

,

или

.

 

Для отыскания минимума приравняем нулю соответствующие частные производные:

 

;

.

 

Выполнив элементарные преобразования, получим систему двух линейных уравнений относительно ρ и b*⁾:

 

; . (**)

 

Решив эту систему, найдем искомые параметры:

 

;

. (***)

 

Аналогично можно найти выборочное уравнение прямой линии регрессии Х на Y:

= ρ_xy x + C,

где ρ_xy —выборочный коэффициент регрессии Х на Y.

Пример. Найти выборочное уравнение прямой линии регрессии Y на Х по данным n = 5 наблюдений:

х 1,00 1,50 3,00 4,50 5,00

у 1,25 1,40 1,50 1,75 2,25

Решение. Составим расчетную табл. 11.

Найдем искомые параметры, для чего подставим вычисленные по таблице суммы в соотношения (***):

ρ_xy = (5·26,975— 15·8,15)/(5·57,5—15²) ==0,202;

Ь= (57,5·8,15—15·26,975)/62,5= 1,024.

(Для простоты записи вместо условимся писать .

 

Таблица 11

xi	yi	x^2i	xiyi
1,00	1,25	1,00	1,250
1,50	1,40	2,25	2,100
3,00	1,50	9,00	4,500
4,50	1,75	20,25	7,875
5,00	2.25	25,00	11,250

 

Напишем искомое уравнение регрессии:

 

Y = 0,202x + 1,024.

 

Для того чтобы получить представление, насколько хорошо вычисленные по этому уравнению значения Y_i согласуются с наблюдаемыми значениями у_i найдем отклонения Y_i—у_i. Результаты вычислений приведены в табл. 12.

 

Таблица 12

xi	Yi	yi	Yi - yi
1,00	1,226	1,25	—0,024
1,50	1,327	1,40	—0,073
3,00	1,630	1,50	0,130
4,50	1,933	1,75	0,183
5,00	2,034	2,25	—0,216

Как видно из таблицы, не все отклонения достаточно малы. Это объясняется малым числом наблюдений.

 

§ 5. Корреляционная таблица

При большом числе наблюдений одно и то же значение х может встретиться n_x раз, одно и то же значение у — n_y раз, одна и та же пара чисел (х, у) может наблюдаться n_xy раз. Поэтому данные наблюдений группируют, т. е. подсчитывают частоты n_x, n_y, n_xy. Все сгруппированные данные записывают в виде таблицы, которую называют корреляционной.

Поясним устройство корреляционной таблицы на примере табл. 13.

 

Таблица 13

Y	х
				ny
0,4 0,6 0,8	-	-	-	-
nx					n=60

 

В первой строке таблицы указаны наблюдаемые значения (10; 20; 30; 40) признака X, а в первом столбце— наблюдаемые значения (0,4; 0,6; 0,8) признака Y. На пересечении строк и столбцов находятся частоты n_xy наблюдаемых пар значений признаков. Например, частота 5 указывает, что пара чисел (10; 0,4) наблюдалась 5 раз. Все частоты помещены в прямоугольнике, стороны которого проведены жирными отрезками. Черточка означает, что соответственная пара чисел, например (20; 0,4), не наблюдалась.

В последнем столбце записаны суммы частот строк. Например, сумма частот первой строки «жирного» прямоугольника равна n_y = 5+7+ 14 = 26; это число указывает, что значение признака Y, равное 0,4 (в сочетании с различными значениями признака X), наблюдалось 26 раз.

В последней строке записаны суммы частот столбцов. Например, число 8 указывает, что значение признака X, равное 10 (в сочетании с различными значениями признака Y), наблюдалось 8 раз.

В клетке, расположенной в нижнем правом углу таблицы, помещена сумма всех частот (общее число всех наблюдений n). Очевидно, . В нашем примере

= 8+21+13+18=60 и = 26+12+22 = 60.