Расчет теоретической линии регрессии

Теоретическая линия регрессии представляет собой такую математически правильную кривую (либо прямую) линию, которая проходит наиболее близко к точкам эмпирической линии регрессии, выражает общую закономерность средних изменений признака в связи со средними изменениями фактора.

В нашем случае характер размещения точек на корреляционном поле делает весьма вероятной гипотезу о линейной связи у от х: у = a_{0 +} a₁x.

Параметры уравнения найдем из системы по способу наименьших квадратов:

naꞌ₀ + aꞌ₁∑ xꞌ = ∑ yꞌ

aꞌ₀∑xꞌ + aꞌ₁∑(xꞌ)² = ∑ xꞌyꞌ

Исходную информацию для решения данной системы получаем из таблицы 1.7., которая основана на результатах таблицы 1.6. Примем условный нуль в пятом интервале по оси Ох, тогдаС =61,9%; i = 1,46 %.

 

 

Таблица 1.7.

Выработка на 1 рабочего, т. руб.	y’	Объем работ собственными силами, т. руб.			№ столбца
x’^2
x’	-5	-4	-3	-2	-1							li	liy’	y’^2	li y’^2
y x	54,6	56,06	57,52	58,98	60,44	61,9	63,36	64,82	66,28	67,74	69,2
								1
	7257,2
	7032,4
	6807,6	1									1
	6582,8	1			1
				1
-1	6133,2			2										-2
-2	5908,4									1				-2
-3	5683,6		1											-3
-4	5458,8
-5												1		-5
№ столбца		Итого h i													-1	-
	∑h­ix’	-10	-4	-9	-2								∑x’ =-12
	∑ h­ix’^2												∑х^’^2=148
	∑ miyi		-3	-2						-2		-5	∑y’ =-1
	∑ my’x’	-15			-2					-6		-25	∑ х^’у^’ =-17

В качестве проверки правильности данной таблицы должно соблюдаться равенство итогов четвертой строки и второго столбца. Если это условие не соблюдается, то в расчетах допущена ошибка, которая может привести к существенным искажениям величины параметров теоретической линии регрессии.

В систему уравнений, данную выше, и получим:

11*a₀’-12*a₁’= -1

-12*a₀’+148*a₁’=-17

В качестве метода решения системы принимаем метод Гаусса, который позволяет находить решение последовательно, исключая неизвестные. Для этого первое уравнение умножаем на -12, а второе на 11 и вычтем:

-1772*а₁’=-199

a₁’=0.11

Затем в первое уравнение системы подставим значение a₁’ и находим величину a₀’:

11*a₀’-12*0.11= -1

 

a₀’=0.03

Параметры a₀’и a₁’ необходимо преобразовать исходя из фактических значений х и у.

Формулы перевода из упрощенных в реальные координаты:

a₁=a₁’_* a₀=c_y+i_ya₀’-a₁’* *c_x

где i_y- интервал группировки по функции

i_x- интервал группировки по аргументу

c_y-новое начало отсчета по функции

c_x-новое начало отсчета по аргументу

По этим формулам получаем, что a₀=5290.54, a₁= 17.79

Уравнение теоретической линии регрессии в реальных коэффициентах имеет вид y=5290.54+17.79х.

В уравнении регрессии первое слагаемой носит название свободного члена, второе слагаемое называется коэффициентом регрессии. Он показывает, на сколько натуральных единиц изменяется в среднем результативный признак при изменении факторного признака на единицу.

В нашем примере из уравнения теоретической линии регрессии видно, что выработка на 1 рабочего повышаются на 17.79 % при увеличении уровня сборности 1 %. Выработка на 1 рабочего, не зависящие от рассматриваемых фактов, равен 5290,54 тыс. руб.

Для графического изображения линии регрессии, рассчитанной по линейной гипотезе, достаточно определить две точки, через которые можно провести прямую.

В нашем примере по х₁=60 и х₂=70,у₁=6357,94 и у₂=6535,84 проводим на поле корреляции прямую линию.

Вывод: Графическое изображение теоретической линии регрессии в виде уравнения прямой еще раз подтверждает наличие корреляционной связи между изучаемыми признаками.

 

Измерение тесноты связи

Коэффициент корреляции r_y/x является одним из наиболее совершенных методов измерения тесноты связи. Коэффициент корреляции отвечает на вопрос, в какой мере соблюдается строгая пропорциональность в изменениях функционального и факториального признаков.

Коэффициент корреляции может принимать как положительные, так и отрицательные значения, т.е. -1≤r≤1.

При выполнении корреляционных расчетов, когда связь между признаками х и у выражается прямой линией, соблюдается условие, при котором знак при коэффициенте корреляции r_y/x должен совпадать со знаком при коэффициенте регрессии а₁.

Для расчета коэффициента корреляции существует формула, представленная в упрощенных координатах признаков х и у.

r_y/x=

В нашем случае исходную информацию для нахождения r_y/x принимаем из таблицы 1.7.

r_y/x= = 0,16

Вывод: выполненные расчеты показывают, что между выработкой на 1 рабочего и уровнем сборности существует положительная корреляция, которая говорит о том, что с увеличением факторного признака х функциональный признак у увеличивается.

Знак при коэффициенте корреляции совпадает со знаком регрессии а₁, что свидетельствует о правильности произведенных вычислений. Имеем слабую связь между изучаемыми явлениями.