Корреляционная функция производной стационарной случайной функции

Теорема. Корреляционная функция производной X' (t) = дифференцируемой стационарной случайной функции Х (t) равна второй производной от ее корреляционной функции, взятой со знаком минус:

.

Доказательство. Известно, что корреляционная функция производной любой дифференцируемой случайной функции равна второй смешанной производной от ее корреляционной функции (см. гл. XXIII, § 16, теорема 2):

'

По условию, X (t) — стационарная функция, поэтому ее корреляционная функция зависит только от разности аргументов:

Из соотношения τ = t ₂- t ₁ следует,что

и

Учитывая равенства (*), получим

Видим, что искомая корреляционная функциязависиттолько от τ, поэтому

Итак,

 

Пример. Задана, корреляционная функция k_x (τ) = стационарной случайной функции Х (t). Найти: а) корреляционную функцию; б) дисперсию производной X' (t) = .

Решение, а) Продифференцировав дважды заданную корреляционную функцию и изменив знак результата на противоположный, найдем искомую корреляционную функцию:

б) Положив τ =0, получим искомую дисперсию:

Взаимная корреляционная функция стационарной случайной функции и ее производной

Теорема. Взаимная корреляционная функция дифференцируемой стационарной случайной функции Х′ (t) и ее производной X' (t) =x равна первой производной от корреляционной функции k_x (τ), взятой со своим (противоположным) знаком, если индекс стоит на втором (первом) по порядку месте:

а) б)

Предполагается, что τ = t ₂- t ₁

Доказательство. а) По Определениювзаимнойкорреляционной функции,

Операции нахождения математического ожидания и дифференцирования можно переставить (см. гл. XXIII, § 16, замечание 1), поэтому

Так как X (t) — стационарная функция, то ее корреляционная функция зависит только от разности аргументов: где τ = t ₂- t ₁ и, следовательно, Таким образом,

Правая часть равенства зависит только от τ; следовательно, и левая часть есть функция от τ. Обозначив ее через окончательно получим

б) Доказывается аналогично.

Заметим, что поскольку взаимная корреляционная функция зависит только от τ,то стационарная случайная функция и ее производная стационарно связаны (см. § 4).

Пример. Задана корреляционная функция стационарной случайной функции X (t). Найти взаимную корреляционную функцию заданной случайной функции и ее производной.

Решение. Воспользуемся формулой

а) Пусть τ ≥0. Тогда | τ |= τ, Таким образом,при τ≥ 0

б) Пусть τ<0. Тогда |τ|=-τ, . Таким образом, при τ<0

Итак, искомая взаимная корреляционная функция

 

 

Корреляционная функция интеграла от стационарной случайной функции

Теорема. Корреляционная функция интеграла от стационарной случайной функции равна

Доказательство. Известно, что корреляционная функция интеграла от случайной функции Х (t) равна двойному интегралу от ее корреляционной функции (см. гл. XXIII, § 17, теорема 2):

Принимая во внимание, что корреляционная функция стационарной случайной функции зависит только от разности аргументов, т. е. получим

Вычисление этого интеграла весьма громоздко, поэтому ограничимся указаниями: перейти к новым переменным τ = s ₂ – s ₁, ξ= s ₂+ s ₁;

Рис. 28

начертить новую область интегрирования, ограниченную прямыми τ =ξ, τ =-ξ, τ =ξ-2 t ₁,

τ =-ξ+2 t ₁и выполнить интегрирование по ξ. Двойной интеграл по области OABD можно вычислить как разность двойных интегралов по областям ОАС и BDC. При интегрировании по области ODE переставить пределы интегрирования по τ и перейтик новой

переменной τ ' =- τ (рис. 28).

Следствие. Дисперсия интеграла от стационарной случайной функции равна

(**)

 

Действительно, положив t ₁= t ₂= t в формуле (*), получим

После приведения подобных членов окончательно имеем

Пример. Задана корреляционная функция k_x (t)=l/(1+τ²) стационарной случайной функции Х (t). Найти дисперсию интеграла

Решение. Воспользуемся формулой (**);

Выполнив интегрирование, получим искомую дисперсию:

D_y (t)=2 t arc t g t — ln(1 + t ²)•

Заметим, что функция Y (t) не стационарна, так как ее дисперсия не постоянна, а зависит от аргумента t.

 

Определение характеристик аргодическях стационарных случайных

Функций из опыта

Среди стационарных случайных функций можно выделить класс функций, оценка характеристик которых путем усреднения множества реализации равносильна усреднению по времени только одной реализации достаточно большой длительности.

Стационарную случайную функцию X (t) называют аргодической, если ее характеристики, найденные усреднением множества реализации, совпадают с соответствующими характеристиками, полученными усреднением по времени одной реализации x (t), которая наблюдалась на интервале (0, Т) достаточно большой длительности.

Достаточное условие эргодичности стационарной случайной функции Х (t) относительно математического ожидания состоит в том, что ее корреляционная функция k_x (τ) при τ→∞ стремится к нулю:

Достаточное условие эргодичности стационарной случайной функции Х (t) относительно корреляционной функции состоит в том, что корреляционная функция k_y (τ) при τ→∞ стремится к нулю:

где

В качестве оценки математического ожидания эргодической стационарной случайной функции Х (t) по наблюдавшейся на интервале (0, T) реализации x (t) принимают среднее по времени ее значение:

(*)

Известно, что корреляционная функция стационарной случайной функции

Таким образом, оценить k_x (τ) означает оценить математическое ожидание функции поэтому можно воспользоваться соотношением (*), учитывая, что функция определена при t+τ≤T и, следовательно, t≤T - τ.

Итак, в качестве оценки корреляционной функции эргодической стационарной случайной функции принимают

(**)

либо,что равносильно,

(***)

Практически интегралы вычисляют приближенно, например по формуле прямоугольников. С этой целью делят интервал (0, Т) на п частичных интервалов длиной Δ t = Т/п; в каждом частичном i -м интервале выбирают одну точку, например его середину t_i. В итоге оценка (*) принимает вид

Учитывая, что Δ t=T/n, окончательно получим

Аналогично приближенно вычисляют интеграл (**), полагая, что τ принимает значения Δ t, 2Δ t,…,(n -1) Δ t, или, что то же, T/n,2 T/n, 3T/n, …,(n- 1) T/n.

В итоге оценки корреляционной функции (**) и (***) принимают соответственно вид:

 

где l= 1, 2,..., n—1.

Замечание. Можно показать, что оценка (*)—несмещенная, т.е. М [ m_x ^*]= m_x; оценка (**)—асимптотически несмещенная, т.е.

Задачи

1. Является ли стационарной случайная функция Х (t)= t ³ U, где U —случайная величина, причем: а) т_и≠ 0, б) т_и =0?

Отв. а) Нет: т_х (t)≠cons t; б) Нет: корреляционная функция зависит не от разности аргументов, а от каждого из них.

2. Стационарна ли случайная функция Х (t)=sin(t + φ), где φ —случайная величина, распределенная равномерно в интервале (0,2π)?

Отв. Да: т_х(t)=0=const. K_.x(t₁,t₂)=0,5cos(t₂ - t₁).

3. Известно, что если φ —случайная величина, распределенная равномерно в интервале (0,2 π), то случайная функция Х (t) =s in(t + φ)—стационарная. Можно ли отсюда непосредственно заключить, что случайная функция Y (t)=cos(t + φ) также стационарна?

Отв. Можно: изменив начало отсчета аргумента, напримерна π /2, стационарной функции Х (t), получим функцию Y (t).

4. Задана случайная функция Х (t)= t+U sin t+Vcost, где U и V— случайные величины, причем М (U) =M (V)=0, D (U) =D (V)=5, M (UV) =0. Доказать, что: а) Х (t) — нестационарная функция; б) X (t)—стационарная функция.

Отв. а) т_х (t)≠cons t; б) K_x (t ₁, t ₂)=5cos(t ₂ - t ₁).

5. Известна корреляционная функция k_x (τ)= стационарной случайной функции Х (t). Найти корреляционную функцию случайной функции Y (t) = 5 X (t).

Отв. .

6. Задана корреляционная функция k_x (τ)= стационарной случайной функции Х (t). Найти нормированную корреляционную функцию.

Отв. .

7. Заданы две стационарные случайные функции Х (t) =cos (2 t + φ) и Y(t)=sin(2 t + φ), где φ —случайная величина, распределенная равномерно в интервале (0, 2 π). Доказать, что заданные функции стационарно связаны.

Отв. R_xy(t₁,t₂)=0,5sin2(t₂ – t₁).

8. Задана корреляционная функция стационарной случайной функции Х (t). Найти: а) корреляционную функцию; б) дисперсию производной X ′(t) = .

Отв. a) ; б) .

9. Задана корреляционная функция стационарной случайной функции Х (t). Найти взаимные корреляционные функции случайной функции Х (t) и ее производной.

Отв.. ;

10. Задана корреляционная функция стационарной случайной функции Х (t). Найти дисперсию интеграла .

Отв. D _у(t)=2(t +е^{- t} - 1).

 

 

Глава двадцать пятая