Комплексные случайные функции и их характеристики

Комплексной слуюйной функцией называютфункцию

Z (t) =X (t) +Y (t) i,

где Х (t) и Y (t)—действительные случайные функции действительного аргумента t.

Обобщим определения математического ожидания и дисперсии на комплексные случайные функции так, чтобы, в частности, при Y=0 эти характеристики совпали с ранее введенными характеристиками для действительных случайных функций, т. е. чтобы выполнялись требования:

m_z (t) =m_x (t)(*)

D_z (t) =D_x (t)(**)

Математическим, ожиданием, комплексной случайной функции Z (t)= Х (t) +Y (t) i называют комплексную функцию (неслучайную)

m_z (t) =m_x (t) +m_y (t) i.

В частности, при Y=0 получим т_z (t) =т_x (t),т.е. требование (*) выполняется.

Дисперсией комплексной случайной функции Z (t) называют математическое ожидание квадрата модуля центрированной функции Z (t):

D_z (t) =M [| (t)|²].

В частности, при Y==0 получим D_z(t) = M [| (t)|] ² =D_x (t), т. е. требование (**) выполняется.

Учитывая, что математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий слагаемых, имеем

D_z (t) =M [| (t)|²]= M {[ (t)] ² + [ (t)²]}= M [ (t)] ² +M [ (t)²]= D_x (t) +D_y (t).

Итак, дисперсия комплексной случайной функции равна сумме дисперсий ее действительной и мнимой частей:

D_z (t) =D_x (t) +D_y (t).

Известно, что корреляционная функция действительной случайной функции Х (t) при разных значениях аргументов равна дисперсии D_x (t). Обобщим определение корреляционной функции на комплексные случайные функции Z (t) так, чтобы при равных значениях аргументов t ₁ =t ₂ =t корреляционная функция K_z (t, t) была равна дисперсии D_z (t), т. е. чтобы выполнялось требование

K_z (t, t) =D_z (t). (***)

Корреляционной функцией комплексной случайной функции Z (t) называют корреляционный момент сечений (t ₁)и (t ₂)

K_z (t ₁, t ₂) = M [ ].

В частности, при равных значениях аргументов

K_z (t, t) = M [ ]= M [| |²]= D_z (t).

 

т. е. требование (***) выполняется.

Если действительные случайные функции Х (t) и Y (t)коррелированы, то

K_z (t ₁, t ₂) = K_x (t ₁, t ₂) +K_y (t ₁, t ₂) + [ R_xy (t ₂, t ₁)] + [ R_xy (t ₁, t ₁)].

если Х (t) и Y (t) не коррелированы, то

K_z (t ₁, t ₂) = K_x (t ₁, t ₂) +K_y (t ₁, t ₂).

Рекомендуем убедиться в справедливости этих формул, используя соотношение (****) предыдущего параграфа.

Обобщим определение взаимной корреляционной функции на комплексные случайные функции Z ₁(t)= Х ₁(t)+ Y ₁(t) i и Z ₂(t)= Х ₂(t)+ Y ₂(t) i так, чтобы, в частности, при Y ₁ =Y ₂ = 0 выполнялось требование

(****)

Взаимной корреляционной функцией двух комплексных случайных функций называют функцию (неслучайную)

В частности, при Y ₁ =Y ₂=0 получим

т. е. требование (****) выполняется.

Взаимная корреляционная функция двух комплексных случайных функций выражается через взаимные корреляционные функции их действительных и мнимых частей следующей формулой:

Рекомендуем вывести эту формулу самостоятельно.

Задачи

1. Найти математическое ожидание случайных функций:

a) X (t) =Ut ², где U— случайная величина, причем M (U) =5,

б) Х (t) =U cos2 t+Vt, где U и V— случайные величины, причем M (U) =3, M (V) =4.

Отв. а) m_x(t)=5t²; б) т_x(t)=3 cos2t+4t.

2. Задана корреляционная функция К_х (t ₁, t ₂) случайной функции X (t). Найти корреляционные функции случайных функций:

a) Y (t) =X (t) +t; б) Y (t)=(t +1) X (t); в) Y (t) =4X (t).

Отв. a) К_y(t₁,t₂)= К_х(t₁,t₂); б) К_y(t₁,t₂)=(t₁+1)(t₂+1) К_х(t₁,t₂); в) К_y(t₁,t₂)=16 К_x(t₁,t₂)=.

3. Задана дисперсия D_x (t) случайной функции Х (t). Найти дисперсию случайных функций: a) Y (t) =Х (t) +e^t б) Y (t) =tX (t).

Отв. a) D_y (t) =D_x (t); б) D_y (t) =t ² D_x (t).

4. Найти: а) математическое ожидание; б) корреляционную функцию; в) дисперсию случайной функции Х (t)= Usin 2 t, где U— случайная величина, причем M (U) =3, D (U) =6.

Отв. а) m_x (t) =3 sin 2 t; б) К_х (t ₁, t ₂)= 6 sin 2 t ₁ sin 2 t ₂; в) D_x (t)=6 sin ²2 t.

5. Найти нормированную корреляционную функцию случайной функции X (t), зная ее корреляционную функцию К_х (t ₁, t ₂)=3 cos (t ₂ —t ₁).

Отв. ρ_x(t₁,t₂)=cos(t₂-t₁).

6. Найти: а) взаимную корреляционную функцию; б) нормированную взаимную корреляционную функцию двух случайных функций X (t)=(t +1) U, и Y(t) = (t ² + 1) U, где U— случайная величина, причем D (U)=7.

Отв. a) R_xy (t ₁, t ₂)=7(t ₁+l)(t ₂²+l); б) ρ_xy (t ₁, t ₂)=1.

7. Заданы случайные функции Х (t) = (t— 1) U и Y (t)= t ² U, где U и V — некоррелированные случайные величины, причем M (U)=2, M (V) = 3, D (U) =4, D (V) =5. Найти: а) математическое ожидание; б) корреляционную функцию; в) дисперсию суммы Z (t) =X (t) +Y (t).

Указание. Убедиться, что взаимная корреляционная функция заданных случайных функций равна нулю и, следовательно, Х (t) и Y (t) не коррелированы.

Отв. а) m_z (t)=2(t - 1)+3 t ²; б) К_z (t ₁, t ₂)=4(t ₁ - l)(t ₂- 1)+6 t ₁² t ₂²; в) D_z (t)=4(t - 1)²+6 t⁴.

8. Задано математическое ожидание m_x (t)= t ²+1 случайной функции Х (t). Найти математическое ожидание ее производной.

Отв. .

9. Задано математическое ожидание m_x (t) =t ² +3 случайной функции Х (t). Найти математическое ожидание случайной функции Y (t) =tХ' (t) +t³.

Отв. m_y(t)=t²(t+2).

10. Задана корреляционная функция К_х (t ₁, t ₂)= случайной функции X (t). Найти корреляционную функцию ее производной.

Отв. .

11. Задана корреляционная функция К_х (t ₁, t ₂)= случайной функции Х (t). Найти взаимные корреляционные функции:

a) б)

Отв. a) б) .

12. Задано математическое ожидание m_x (t)=4 t³ случайной функции Х (t). Найти математическое ожидание интеграла .

Отв. m_y(t)=t⁴.

13. Задана случайная функция Х (t) =Ucos ² t, где U— случайная величина, причем M (U) = 2. Найти математическое ожидание случайной функции .

Отв. т_у (t) =(t ²+1)[ t+ (sin 2 t)/2].

 

14. Задана корреляционная функция К_x (t ₁, t ₂) =cosωt ₁ cosωt ₂ случайной функции Х (t). Найти: а) корреляционную функцию; б) дисперсию интеграла

Отв. a) D_y(t)=(sin²ωt)/ω².

15*. Задана случайная функция Х (t) =Ue^3tcos 2 t, где U— случайная величина, причем М (U) = 5, D (U)=1. Найти: а) математическое ожидание, б) корреляционную функцию, в) дисперсию интеграла

Отв. а) m_x(t)=5е^3tcos2t;

в)

16. Задана корреляционная функция К_х (t ₁, t ₂)= t ₁ t ₂² случайной функции Х (t). Найти взаимные корреляционные функции: a) R_xy (t ₁, t ₂); б ) R_yx (t ₁, t ₂) случайных функций Х (t) и .

Отв. a) R_xy(t₁,t₂)=t₁t₂³/3; б) R_yx (t₁,t₂)=t₁²t₂²/2.

Глава двадцать четвертая