Групповая, внутригрупповая, межгрупповая и общая дисперсии

 

Допустим, что все значения количественного признака X совокупности, безразлично-генеральной или выборочной, разбиты на k групп. Рассматривая каждую группу как самостоятельную совокупность, можно найти групповую среднюю (см. § 6) и дисперсию значений признака, принадлежащих группе, относительно групповой средней.

Групповой дисперсией называют дисперсию значений признака, принадлежащих группе, относительно групповой средней

,

где n_i - частота значения x_i; j - номер группы; - групповая средняя группы j; - объем группы j.

Пример 1. Найти групповые дисперсии совокупности, состоящей из следующих двух групп:

 

первая группа		вторая группа
	xi	ni			xi	ni

Решение. Найдем групповые средние:

;

.

Найдемискомые групповые дисперсии:

;

.

Зная дисперсию каждой группы, можно найти их среднюю арифметическую.

Внутригрупповой дисперсией называют среднюю арифметическую дисперсий, взвешенную по объемам групп:

,

где N_j - объем группы j; п = - объем всей совокупности.

Пример 2. Найти внутригрупповую дисперсию по данным примера 1.

Решение. Искомая внутригрупповая дисперсия равна

 

Зная групповые средние и общую среднюю, можно найти дисперсию групповых средних относительно общей средней.

Межгрупповой дисперсией называют дисперсию групповых средних относительно общей средней:

,

где - групповая средняя группы j; N_j - объем группы j; - общая средняя; n = - объем всей совокупности.

Пример 3. Найти межгрупповую дисперсию по данным примера 1.

Решение. Найдем общую среднюю:

.

Используя вычисленные выше величины = 4, = 6, найдем искомую межгрупповую дисперсию:

.

Теперь целесообразно ввести специальный термин для дисперсии всей совокупности.

Общей дисперсией называют дисперсию значений признака всей совокупности относительно общей средней:

,

где n_i - частота значения x_i; - общая средняя; n - объем всей совокупности.

Пример 4. Найти общую дисперсию по данным примера 1.

Решение. Найдем искомую общую дисперсию, учитывая, что общая средняя равна 14/3:

 

Замечание. Найденная общая дисперсия равна сумме внутригрупповой и межгрупповой дисперсий:

D _общ= 148/45;

D _внгр + D _межгр= 12/5 + 8/9= 148/45.

В следующем параграфе будет доказано, что такая закономерность справедлива для любой совокупности.

 

 

Сложение дисперсий

 

Теорема. Если совокупность состоит из нескольких групп, то общая дисперсия равна сумме внутригрупповой имежгрупповой дисперсий:

D _общ =D _внгр + D _межгр.

Доказательство. Для упрощения доказательства предположим, что вся совокупность значений количественного признака X разбита на две следующие группы:

 

Группа……………………	первая		вторая
Значение признака………..	x 1 x 2	x 1 x 2
Частота…………………….	m 1 m 2	n 1 n 2
Объем группы…………….	N 1 = m 1 + m 2	N 2 = n 1 + n 2
Групповая средняя……….
Групповая дисперсия…….
Объем своей совокупности	n=N 1 +N 2

 

Далее для удобства записи вместо знака суммы пишется знак .

Например, .

Следует также иметь в виду, что если под знаком суммы стоит постоянная величина, то ее целесообразно выносить за знак суммы.

Например, .

 

Найдем общую дисперсию:

D _общ= . (*)

Преобразуем первое слагаемое числителя, вычтя и прибавив :

.

Так как

(равенство следует из соотношения ) и в силу § 7

,

тo первое слагаемое принимает вид

. (**)

Аналогично можно представить второе слагаемое числителя (*) (вычтя и прибавив ):

. (***)

Подставим (**) и (***) в (*):

.

Итак,

D _общ =D _внгр + D _межгр.

Пример, иллюстрирующий доказанную теорему, приведен в предыдущем параграфе.

Замечание. Теорема имеет не только теоретическое, но и важное практическое значение. Например, если в результате наблюдений получены несколько групп значений признака, то для вычисления общей дисперсии можно группы в единую совокупность не объединять. С другой стороны, если совокупность имеет большой объем, то целесообразно разбить ее на несколько групп. В том и другом случаях непосредственное вычисление общей дисперсии заменяется вычислением дисперсий отдельных групп, что облегчает расчеты.