Раздел 7 дисперсионный анализ

Существенным недостатком лимита и амплитуды как критериев вариабельности является то, что они полностью зависят от крайних значений признака в вариационном ряду. При этом не учитываются колебания значений признака внутри ряда.

Наиболее просто определить однородность числового ряда с учетом всех значений, составляющих этот ряд, через отклонения всех вариант от центра ряда (среднего арифметического), поскольку каждое отдельное наблюдение на какую-то величину не совпадает со средним арифметическим. Разность между конкретной вариантой и средним арифметическим из этого ряда называется отклонением от среднего d_i=(V_i – M). Такие отклонения от среднего (М=10) можно представить в графической форме:

 

Для получения обобщающей характеристики числового ряда использовать сумму отклонений от среднего нельзя. Это связано с тем, что сумма всех отрицательных и положительных отклонений от среднего всегда равна нулю. Можно избежать взаимной компенсации отклонений, беря квадраты отклонений, т. к. при возведении в квадрат отрицательные и положительные числа дают только положительные значения.

При усреднении всех отклонений числового ряда получается средний квадрат отклонений, который называется дисперсией — D. Алгебраическое выражение дисперсии: где n — число наблюдений, d — отклонения вариант от среднего d_i=(V_i – M). Во взвешенном ряду, дисперсия вычисляется по формуле:

Способы вычисления дисперсии

 

Простой ряд	Простой ряд	Взвешенный ряд или
V	d	d^2	V	V^2	V	Р	VP	V^2P
	–2
	–1
M=17	Σd=0	Σd^2=10	ΣV^2=1455	ΣP=15	ΣVP=258	ΣV^2P=4456
D=10/5=2	D=1455/5–17^2=2	M=258/15=17,2
		D=4456/45–17,2^2=1,2

 

Упрощенные способы расчета дисперсии позволяют избежать вычислений отклонений d. В этом случае, для не сгруппированного ряда , где ΣV_j² — сумма квадратов вариант ряда, М² — квадрат среднего арифметического, n — число наблюдений. Для сгруппированного ряда формула вычисления дисперсии упрощенным способом выглядит следующим образом:

, где ΣV_j²P — сумма произведений квадратов вариант ряда на их частоту, М² — квадрат среднего арифметического, ΣP_j — число наблюдений, определяемое как сумма частот. Если в результате статистического наблюдения получены несколько групп значений признака, то для вычисления обшей дисперсии можно группы в единую совокупность не объединять. Более того, если совокупность имеет большое число наблюдений (большой объем), то в случае «ручного» проведения вычислений целесообразно ее разбить на несколько групп. В том и другом случаях вычислением дисперсий отдельных групп можно заменить непосредственное вычисление общей дисперсии. Поскольку общая дисперсия равна сумме внутригрупповой и межгрупповой дисперсий. Это свойство дисперсий имеет большое теоретическое и практическое значение, являясь основой широко применяющегося в научных исследованиях дисперсионного анализа.

Формула для расчета общей дисперсии представлена выражением D_общ=D_внгр+D_межгр, где:

D_общ, — общая дисперсия, дисперсия значений признака всей совокупности относительно общего среднего;

D_внгр — внутригрупповая дисперсия, среднее арифметическое групповых дисперсий, взвешенных по объемам групп

 

где n – объем всей совокупности, N_j — объем

группы j; Dj — дисперсия группы j; D_межгр — межгрупповая дисперсия.

,где M_j — групповое среднее группы у, М — общее среднее; n — объем всей совокупности, N_j — объем группы.

Практически расчет общей дисперсии не представляет труда. Например: требуется найти общую дисперсию совокупности состоящей из двух групп. Вычисления проходят по следующим этапам.

1-й этап:

Вычисление средних в первой и второй группе

Первая группа	Вторая группа
V1	P1	V1P1	V2	P2	V2P2
n1=ΣP1=13	ΣV1P1=52	N2=ΣP2=14	ΣV2P2=84
M1=52/13=4	M2=84/14=6

 

2-й этап. Вычисление общего среднего всей совокупности (обеих групп):

3-й этап: Вычисление групповых дисперсий

Первая группа	Вторая группа
V1	P1	V1^2P1	V2	P2	V2^2P2
n1=ΣP1=13	ΣV1^2P1=228	n2=ΣP2=14	ΣV2^2P2=540
D1=ΣV1^2P1/n1–M1=1.54	D2=ΣV2^2P2/n2–M2=2.57

 

4-й этап. Рассчитываем внутригрупповую дисперсию, как

среднюю групповых дисперсий

5-й этап. Определяем межгрупповую дисперсию, как дисперсию групповых средних относительно общего среднего:

 

6-й этап. Общая дисперсия D_общ = D_внгр +D_межгр = 1+2,07=3,07.