Межгрупповая и внутригрупповая дисперсия

Пусть имеется совокупность из n единиц, разбитая на k групп. Рассматривая каждую группу как самостоятельную совокупность, можно найти для нее групповую среднюю и дисперсию значений признака относительно групповой средней.

Часто при объединении групп требуется найти дисперсию признака всей совокупности на основе дисперсий признака в группах. При этом необходимо учитывать, что вариация признака в целом по совокупности зависит как от вариации признака внутри каждой группы, так и от вариации групповых средних.

Групповой дисперсией называется дисперсия значений признака внутри группы

,

где n_i – частота значений x_i;

j – номер группы;

– групповая средняя j -й группы;

N_j – численность j -й группы.

Пример. Найти групповые дисперсии совокупности, состоящей из двух групп.

Первая группа Вторая группа

xi	ni		xi	ni

N ₁ = 10 N ₂ = 5

Найдем групповые средние

Найдем групповые дисперсии

Зная дисперсию каждой группы, можно найти их среднюю арифметическую.

Внутригрупповой дисперсией называется средняя арифметическая взвешенная групповых дисперсий

,

где n – общая численность всей совокупности:

.

Пример. Найти внутригрупповую дисперсию по данным примера 1.

Зная групповые средние и общую среднюю, можно найти дисперсию (разброс) групповых средних относительно общей средней.

где – групповая средняя j -й группы;

N_j – численность j -й группы;

– общая средняя;

n – численность всей совокупности.

Пример. Найти межгрупповую дисперсию по данным примера 1.

Найдем общую среднюю

Используя вычисленные значения , , найдем межгрупповую дисперсию

Общей дисперсией называется дисперсия значений признака всей совокупности относительно общей средней

,

где n_i – частота значения x_i;

– общая средняя;

n – численность всей совокупности.

Пример. Найти общую дисперсию по данным примера 1.

Учитывая, что общая средняя равна 4,67, получим

Найденная общая дисперсия равна сумме внутригрупповой и межгрупповой дисперсии

Такая закономерность справедлива для любой совокупности.

Правило сложения дисперсий (без доказательства)

Если совокупность состоит из нескольких групп, то общая дисперсия равна сумме внутригрупповой и межгрупповой дисперсий

Это правило имеет важное практическое значение. Если в результате наблюдений получено несколько групп значений признака, то для вычисления общей дисперсии можно группы не объединять в единую совокупность. С другой стороны, если совокупность имеет большой объем, то целесообразно разбить ее на несколько групп. В обоих случаях применение правила сложения дисперсий облегчает расчеты.

Коэффициентом детерминации называется отношение

.

Коэффициент детерминации показывает, какая доля в общей дисперсии приходится на межгрупповую дисперсию, обусловленную вариацией признака, положенного в основу группировки.

Величина

называется эмпирическим корреляционным отношением.

Эмпирическое корреляционное отношение показывает, насколько тесно связаны исследуемое явление и группировочный признак.

Если связь отсутствует, то все групповые средние равны между собой и межгрупповой вариации нет, т.е. , и, следовательно, . Это означает, что группировочный признак не влияет на вариацию исследуемого признака.

Если связь функциональная, то дисперсия групповых средних равна общей дисперсии и отсутствует внутригрупповая вариация, и, следовательно, . Это означает, что группировочный признак полностью определяет вариацию исследуемого признака. Таким образом, .

Показатели дифференциации

Квантилями называются значения признака, которые делят ранжированный вариационный ряд на равные по численности части.

Частным случаем квантилей являются квартили, квинтили и децили.

Квартилями называются значения признака, которые делят ранжированный вариационный ряд на четыре равные части.

Имеются три квартили Q ₁, Q ₂, Q ₃. Ниже первой квартили лежит ¼ часть всех значений признака, ¼ часть лежит между Q ₁, и Q ₂, и ¼ лежит выше Q ₃. Вторая квартиль Q ₂ делит вариационный ряд пополам и совпадает с медианой. Q ₁ называется нижней квартилью и Q ₃ – верхней.

Квинтилями называются значения признака, которые делят вариационный ряд на пять равных частей.

Децилями называются значения признака, которые делят вариационный ряд на десять равных частей.

Децильным коэффициентом называется отношение девятой децили к первой.

Сравнивая девятую и первую дециль, измеряют соотношение уровней доходов 10% наиболее обеспеченного и 10% наименее обеспеченного населения.

Моменты распределения

Моментом k-го порядка называют среднее значение k-й степеней отклонения значений параметра x от некоторой постоянной величины A

.

При момент называется начальным:

.

При получаем начальный момент нулевого порядка

,

при – начальный момент первого порядка

.

Таким образом, начальный момент первого порядка равен средней арифметической.

При получаем начальный момент второго порядка

.

Таким образом, начальный момент второго порядка есть средний квадрат.

Практически используются моменты первых четырех порядков.

Если , то моменты называются начальными относительно x₀ или условными (x₀ играет роль начала отсчета):

.

С их помощью упрощается вычисление основных характеристик.

При получаем начальный момент относительно x₀ нулевого порядка.

,

при – первого порядка

.

Из этого выражения следует, что

,

то есть средняя арифметическая равна условному моменту первого порядка плюс начало отсчета.

Если отклонения имеют общий множитель c, то на него можно разделить отклонения, а после окончания вычислений полученный момент умножить на этот множитель.

Вычисление среднего значения методом отсчета от условного нуля называется методом моментов. Практически начальные моменты относительно x₀ определяют следующим образом:

- из всех вариантов вычитают начало отсчета и находят отклонения ;

- делят эти отклонения на общий множитель:

;

- вычисляют начальные моменты относительно x';

- умножают найденные начальные моменты на c.

Результатом таких вычислений являются начальные моменты относительно x₀.

Если за постоянную величину A принять среднее значение, т.е. , то моменты называются центральными и обозначаются m_k:

.

Центральный момент нулевого порядка равен 1:

.

Центральный момент первого порядка равен 0:

.

Центральный момент второго порядка равен дисперсии:

.

Центральный момент третьего порядка равен

.