Ранговые коэффициенты корреляции

Ранговые коэффициенты корреляции основаны на корреляции не самих значений признаков, а их рангов. В статистике используются коэффициенты ранговой корреляции Спирмэна и Кендэла.

Допустим, что объекты генеральной совокупности обладают двумя признаками, которые позволяют сравнивать объекты между собой и располагать их в порядке убывания или возрастания значения признака.

Рангом называется порядковый номер объекта в ранжированном ряду. Оба признака необходимо ранжировать, то есть нумеровать в одном и том же порядке: по возрастанию или по убыванию. Если в ряду встречается несколько одинаковых значений x, то каждому из них присваивается ранг, равный частному от деления суммы рангов, приходящихся на эти значения, на число равных значений.

Ранги признаков x и y обозначаются N_x и N_y. Суждение о связи между изменениями значений x и y основано на сравнении поведения рангов. Если у каждой пары x и y ранги совпадают, это характеризует максимально тесную прямую связь. Если же в одном ряду ранги возрастают от 1 до n, а в другом убывают от n до 1, то между признаками существует максимально возможная обратная связь.

Для каждой пары значений признаков x и y вычислим разность их рангов и квадрат разности .

Ранговой коэффициент корреляции Спирмэна вычисляется по формуле

.

Эту формулу можно получить из формулы для коэффициента корреляции, если вместо x и y подставить их ранги.

Если ранги обоих признаков совпадают, то есть все и . Это означает, что между признаками имеется тесная прямая связь.

Если ранги признаков имеют строго противоположные направления, т. е. Первому рангу x соответствует n-й (последний) ранг y, второму рангу x соответствует и т. д. то будет принимать значения

, , …, .

Отсюда получаем

.

Раскрывая скобки и группирую члены суммы, получим

.

Методом математической индукции можно доказать, что

,

.

Тогда

,

следовательно, . Это означает, что между признаками имеется максимально тесная обратная связь.

Таким образом, ранговый коэффициент корреляции Спирмэна лежит в диапазоне

.

Поскольку ранговый коэффициент корреляции Спирмэна учитывает только разности рангов, а не сами значения x и y, он менее точен, чем коэффициент корреляции. Поэтому при нельзя утверждать, что между x и y имеется функциональная связь. Во всех случаях, когда r не принимает крайних значений, он довольно близок к коэффициенту корреляции r.

Пример. Имеется выборка из 8 заводов, каждый из которых почасовой оплатой труда x и текучестью кадров y.

Результаты расчета рангового коэффициента корреляции Спирмэна приведены в таблице.

Таблица 10

x	y	Ранги	Разность рангов d = Nx - Ny	d ^2
Nx	Ny
				-6 -6 -3 -1
n = 8	–	–	–	–

 

В данном примере ранговый коэффициент корреляции Спирмэна равен

.

Такое значение r говорит о сильной обратной связи между x и y.