Коэффициенты корреляции зависимости от типов измерительных шкал

Шкалы признаки В	Шкалы признаки X
Интервальная (отношений)	Ранговая	Номинальная
Интервальная (отношений)	Коэффициент Пирсона гх в; Дихотомическое коэффициент корреляции р; Тетрахоричний коэффициент корреляции тш
Ранговая	Коэффициент Спирмена г \"(при условии, если для х шкалу интервалов или отношений превратить в ранговую шкалу)	Коэффициенты корреляции Спирмена т Кендалла; Коэффициент конкордации В
Номинальная	Точечно-бисериальный коэффициент корреляции мая ^; бисериальный коэффициент корреляции гьии	рангов-бисериальный коэффициент корреляции	Коэффициент ассоциации Ф; Коэффициент контингенции Юла 6; Коэффициенты сопряженности Чупрова К и Пирсона С

Изучение связи между признаками, которые принимают случайные значения, начинается с оценки его линейности

Линейная корреляция

Линейный корреляционная связь для эмпирических данных, измеренных по шкале интервалов или отношений, оценивается с помощью коэффициента корреляции Пирсона г _ху

где Хи и в и - значения переменных X и Y; х и у - средние X и Y; п - объем выборки

⁸ Указанные методы расчета с использованием компьютерной техники можно найти в учебнике [56]

 

Формула (222) может быть преобразована, если заменить значение переменных Х и и в и нормированными значениями 2_х и г_у, и выглядеть так:

 

Пример 27 Оценить связь между переменными X и У по эмпирическим данным таблицы рис 252 двумя способами с использованием формул (222) и (223) Способ 1

Последовательность решения:

o оценить характер линейности связи между признаками X и В с помощью диаграммы рассеяния (рис 252);

 

Рис 252 Диаграмма рассеяния признаков

o убедиться, что корреляция линейная и продолжить расчеты коэффициента корреляции Пирсона г _ху (рис 253 и 254);

o в ячейках В16 и С16 рассчитать средние значения х и у

х = и х_і = 112,00; У =¹ ул = 18,17;

o в ячейках и В15 рассчитать суммы квадратов разностей:

X (х, - X)² = 386,00; у, - у)² = 311,67;

 

Рис 253 Результаты расчета коэффициента корреляции г _ху

o в ячейке Н18 рассчитать сумму произведений разниц:

X (х_і - X) o (у_і - у) = 242,00;

o в ячейке В17 рассчитать коэффициент корреляции г _ху по формуле:

гху = - ^242,00 - 0,70 л/386, 00 o 311,67

 

Рис 254 Расчетные формулы Значение г _ху ~ 0,70 свидетельствует о существенном прямая связь между признаками

Способ 2

Последовательность решения:

o Результаты расчета г _ху за нормируемыми данным показано на рис 255, расчетные формулы рис 256

 

Рис 255 Результаты расчета г _ху за нормируемыми данным

o в ячейках В16 и С16 рассчитать средние значения х и у;

o в ячейках В17 и С17 рассчитать стандартные отклонения у_х и у_у;

 

Рис 256 Формулы расчета г _ху за нормируемыми данным o в столбцах Б и Е рассчитать нормированные данные 2_х и 2_у (обратите внимание

что среднее нормированных данных равен 0, а стандартное отклонение - 1,00);

o в ячейке В18 рассчитать коэффициент корреляции r _xy по формуле (223);

Выводы Одно и то же значение r _xy ~ 0,70 рассчитан двумя способами Методы расчета за нормируемыми данным выглядят более лаконично Значение парного коэффициента корреляции Пирсона r _xy можно получить с помощью специальной функции MS Excel = Пирсон ()

 

36.Проверка адекватности однофакторной регрессионной модели.

Для практического использования моделей регрессии большое значение имеет их адекватность, т. е. соответствие фактическим статистическим данным.

Адекватность регрессионной модели при малой выборе можно оценить F критерием Фишера:

,

где m – число параметров модели;

n - число единиц наблюдения;

- факторная дисперсия, которая характеризует вариацию результативного признака под влиянием признака фактора, включенного в модель;

- остаточная дисперсия, характеризующая вариацию результативного признака под влиянием прочих, неучтенных факторов;

- общая дисперсия, показывающая вариацию результативного признака под влиянием всех факторов, вызывающих эту вариацию:

 

.

 

Эмпирическое значение критерия сравнивается с критическим (табличным) с уровнем значимости 0,01 или 0,05 и числом степеней свободы (m-1), (n-m).

Если > , то уравнение регрессии признается значимым.

Проведем оценку адекватности регрессионной модели , выражающей зависимость среднего объема привлеченных средств банков от собственных средств, с помощью F критерия Фишера:

 

;

;

 

;

 

.

 

Табличное значение F_т с уровнем значимости 0,05 и числом степеней свободы (2-1), (15-2) равно 4,68. (См. Приложение 7). Так как > , то уравнение регрессии можно признать адекватным.

При численности объектов анализа до 30 единиц (при малой выборе) возникает необходимость испытания параметров уравнения на их типичность (значимость). При этом осуществляется проверка, насколько вычисленные параметры характерны для отображаемого комплекса условий, не являются ли полученные значения параметров результатами действия случайных причин.

Для проверки значимости параметров уравнения регрессии используется t – критерий Стьюдента. Вычисляются фактические значения t критерия:

Для параметра :

;

для параметра :

 

,

где - среднее квадратическое отклонение результативного признака от выравненных значений ;

 

- среднее квадратическое отклонение факторного признака хот общей средней .

Полученные фактические значения и сравниваются с критическим , который получают по таблице Стьюдента с учетом принятого уровня значимости а (а =0,01 или а =0,05) и числа степеней свободы k=n-2.

Параметр признается значимым (типичным), если эмпирическое значение больше критического табличного :

> < .

 

Оценим значимость параметров уравнения регрессии с помощью t – критерия Стьюдента:

 

;

;

 

;

 

.

 

Табличное значение t – критерия с уровнем значимости 0,05 и числом степеней свободы k=n-2=15-2=13 равно 2,161 (Приложение 6).

Сравним фактические значения и с критическим ( =2,161), получаем:

 

= 4,96 > = 2,161< =15,2.

 

Следовательно, вычисленные по уравнению регрессии параметры и признаются значимыми.

Измерение тесноты корреляционной связи.

Проверка адекватности регрессионной модели может быть дополнена корреляционным анализом. Для этого необходимо определить тесноту корреляционной связи между переменными х и у.

 

Теснота связи между двумя признаками может измеряться линейным коэффициентов корреляции (r), корреляционным отношением () и индексом корреляции (R).

Линейный коэффициент корреляции определяется по формулам:

 

 

или .

 

Линейный коэффициент корреляции характеризует степень тесноты только при прямолинейной корреляционной зависимости. С коэффициентом регрессии связан таким соотношением: .

Величина принимает значения в интервале: . Отрицательные значения указывают на обратную связь, положительные – на прямую. При =0 линейная связь отсутствует. Чем ближе по абсолютной величине к единице, тем теснее связь между признаками. И, наконец, при , связь функциональная.

Квадрат линейного коэффициента корреляции называется линейным коэффициентом детерминации, показывает удельный вес влияния данного фактора в общей сумме всех факторов, определяющих уровень результативного признака.

Линейный коэффициент корреляции предложили в конце XIX века английские ученые Ф. Гальтон и К. Пирсон.

При наличии криволинейной корреляционной связи недооценивает тесноту связи и в некоторых случаях может дать неверное представление о степени тесноты связи.

Теоретическое корреляционное отношение () и индекс корреляции () служат для измерения тесноты связи как при прямолинейной, так и при криволинейной корреляционной связи.

Теоретическое корреляционное отношение определяется по формулам:

 

или .

 

Корреляционное отношение в квадрате показывает, какую часть всей вариации результативного признака составляет вариация, вызванная факторным признаком.

Для упрощения расчетов степени тесноты связи часто применяется индекс корреляции. Индекс корреляции определяется по следующим формулам:

 

или .

 

Абсолютные размеры линейного коэффициента корреляции, корреляционного отношения, индекса корреляции колеблются от 0 до 1. Направление связи (знак перед и ) определяется непосредственно по исходным данным.

Для качественной оценки тесноты связи можно воспользоваться также шкалой Чеддока:

 

Величина показателя тесноты связи	Характеристика тесноты
0,1- 0,3 0,3 – 0,5 0,5 – 0,7 0,7 – 0,9 0,9 - 0,99	Слабая Умеренная Заметная Высокая Весьма высокая

 

Показатели и при прямолинейной связи совпадают. Поэтому вычисленные по одним и тем же данным величины и часто используют для того, чтобы судить о том, насколько для данного случая правильно предположение о наличии именно прямолинейной формы корреляционной связи. Английский статистик Блекман предложил следующий критерий: если разность не превышает 0,1, предположение о прямолинейной форме корреляционной связи можно считать оправданным.

При выборе вида уравнения можно воспользоваться еще критерием криволинейности , если k> 2,5, то предположение о данном виде криволинейной связи можно считать оправданным.

Используем данные табл. 7.7 и рассчитаем линейный коэффициент корреляции, теоретическое корреляционное отношение и индекс корреляции:

;

 

;

 

;

 

;

 

.

 

Все показатели тесноты корреляционной связи показывают весьма высокую связь между объемами привлеченных и собственных средств.

Коэффициент детерминации 0,947 означает, что вариация привлеченных средств банков на 94,7% объясняется вариацией собственных средств и на 5,7% - прочими факторами.

Так как , то можно седлать заключение, что гипотеза о линейной форме связи подтверждена.

 

37.Трехмерная (двухфакторная) линейная модель линейной корреляционной связи.

38.Парные и частные коэффициенты корреляции, совокупный коэффициент множественной корреляции и детерминации.

Если факторные признаки различны по своей сущно­сти и/или имеют различные единицы измерения, то коэф­фициенты регрессии при разных факторах являются не­сопоставимыми. Поэтому уравнение регрессии дополняют соизмеримыми показателями тесноты связи фактора с ре­зультатом, позволяющими ранжировать факторы. К ним от­носят: частные коэффициенты эластичности, β -коэффициенты, частные коэффициенты корреляции.

Парные коэффициенты корреляции. Для измерения тесноты связи между двумя из рассматриваемых переменных (без учета их взаимодействия с другими переменными) применяются парные коэффициенты корреляции. Методика расчета таких коэффициентов и их интерпретации аналогичны линейному коэффициенту корреляции в случае однофакторной связи.

 

где - среднее квадратическое отклонение факторного признака;

- среднее квадратическое отклонение результативного признака.

Коэффициент частной корреляции измеряет тесноту линейной связи между отдельным фактором и результатом при устранении воздействия прочих факторов модели.

Для качественной оценки тесноты связи можно использовать следующую классификацию:

0.1- 0.3- слабая связь

0.3-0.5 – умеренная связь

0.5-0.7- заметная связь

0.7-0.9- тесная связь

0.9-0.99- весьма тесная

Для расчета частных коэффициентов корреляции мо­гут быть использованы парные коэффициенты корреляции.

Для случая зависимости Yот двух факторов можно вычислить 2 коэффициента частной корреляции:

 

(2-ой фактор фиксирован);

 

 

(1-ый фактор фиксирован).

 

Это коэффициенты частной корреляции 1-ого порядка (порядок определяется числом факторов, влияние которых на результат устраняется).

Частные коэффициенты корреляции, рассчитанные по таким формулам изменяются от -1 до +1. Они используют­ся не только для ранжирования факторов модели по степени влияния на результат, но и также для отсева факторов. При малых значениях нет смысла вводить в уравнение m -ый фактор, т.к. качество уравнения регрессии при его введении возрастет незначительно (т.е. теоретиче­ский коэффициент детерминации увеличится незначитель­но).

Совокупный коэффициент множественной корреляции или индекс множественной корреляции определяет тесноту совместного влияния факторов на результат:

 

где остаточная дисперсия;

или

. Он принимает значения от 0 до 1 (в отличие от парного коэффициента корреляции, который может прини­мать отрицательные значения, R используется без учета на­правления связи). Чем плотнее фактические значения располагаются относительно линии регрессии, тем меньше остаточная дисперсия и, следовательно, больше величина. Таким образом, при значении R близком к 1, урав­нение регрессии лучше описывает фактические данные и факторы сильнее влияют на результат; при значении R близком к 0 уравнение регрессии плохо описывает фактиче­ские данные и факторы оказывают слабое воздействие на результат.

При трех переменных для двух факторного уравнения регрессии данная формула совокупного коэффициента множественной корреляции легко приводится к следующему виду:

 

Чем R ближе к единице, тем совокупное влияние изучаемых показателей x1 и x2 на результативный фактор y больше (корреляционная связь более интенсивная).

Множественный (совокупный) коэффициент детерминации определим как квадрат множественного коэффициента корреляции. Показывает, какая доля вариации изучаемого показателя объясняется влиянием факторов, включенных в уравнение множественной регрессии. Его значение - в пределах от нуля до единицы. Чем ближе множественный коэффициент детерминации к единице, тем вариация изучаемого показателя в большей мере характеризуется влиянием отобранных факторов.

Связь: Частный коэффициент корреляции в отличие от коэффициента (полного) парной корреляции между явлениями показывает тесноту связи после устранения изменений, обусловленных влиянием третьего явления на оба коррелируемых признака (из значений корреляционных признаков вычитаются линейные оценки в связи с третьим признаком).

Также из приведенных ранее формул частных коэффициентов корреляции видна связь этих показателей с совокупным коэффициентом корреляции. Зная частные коэффициенты корреляции (последовательно первого, второго и более высокого порядка), можно определить совокупный коэффициент корреляции по формуле:

 

При полной зависимости результативного признака от исследуемых факторов коэффициент совокупного их влияния равен единице. Из единицы вычитается доля остаточной дисперсии результативного признака, обусловленная последовательно включенными в анализ факторами. В результате подкоренное выражение характеризует совокупное действие всех исследуемых факторов.

 

39.Непараметрические методы установления связи между качественными признаками.

Методы корреляционного и регрессионного анализа не универсальны: их можно применять, если все изучаемые признаки являются количественными. Между тем в статистике приходиться сталкиваться с задачами измерения связи между качественными признаками. Такие методы измерения связи называются непараметрические.

Для исследования степени тесноты связи между качественными признаками, каждый из которых представлен в виде альтернативных признаков, может быть использован коэффициент ассоциации Д. Юла или коэффициент контингенции К. Пирсона. Расчетная таблица в этом случае состоит из четырех ячеек (таблица «четырех полей») и имеет следующий вид:

Признаки	А (да)	(нет)	Итого
B (да)	a	b	а + b
(нет)	c	d	c + d
Итого	a + c	b + d	n

Коэффициент ассоциации вычисляется по формуле:

.

Коэффициент контингенции:

.

Если по каждому из взаимосвязанных признаков выделяется число групп более двух то для подобного таблиц теснота связи между качественными признаками может быть измерена с помощью коэффициентов взаимной сопряженности К. Пирсона и А. А. Чупрова.

Коэффициент взаимной сопряженности Пирсона вычисляется по формуле:

, где j² – показатель средней квадратической сопряженности, который вычисляется по формуле:

, где , .

Коэффициент Чупрова:

, где К₁, К₂ – число групп по каждому из признаков.

Для определения тесноты связи как между количественными, так и между качественными признаками, при условии, что значение этих признаков могут быть проранжированы по степени убывания или возрастания, используется коэффициент корреляции рангов Спирмена:

,

где d – разность рангов признаков x и y;

n - число наблюдаемых единиц.

В случае отсутствия связи r = 0. При прямой связи коэффициент r - положительная правильная дробь, при обратной – отрицательная.

Если объём исходной информации небольшой, то необходимо выполнить проверку существенности рангового коэффициента, т. е. сверить с таблицей предельных значений. Расчетное значение r должно быть больше предельного.

Для определения тесноты связи между произвольным числом ранжированных признаков применяется коэффициент конкордации:

,

где m – количество факторов;

n - число наблюдений;

S - отклонение суммы квадратов рангов от средней квадратов рангов.

Рассмотрим пример:

В результате обследования студентов факультета получены следующие данные:

 

Успеваемость	Количество студентов	Всего
Посещающих спортивные секции	Не посещающих спортивные секции
Удовлетворительная
Неудовлетворительная
Итого

Определите коэффициент ассоциации и контингенции между успеваемостью и посещаемостью спортивных секций.

Коэффициент ассоциации:

Коэффициент контингенции:

.

Полученные коэффициенты подтверждают наличие существенной связи между исследуемыми признаками. Однако коэффициент контингенции всегда меньше коэффициента ассоциации и дает более корректную оценку тесноту связи.