Решение задачи многофакторного корреляционного анализа проводится на пэвм по типовым программам.

Сначала формируется матрица исходных данных (табл. 7.5), в первой колонке которой записывается порядковый номер наблюдения, во второй — результативный показатель (у),а в следующих — факторные показатели (x_i).

Эти сведения вводятся в ПЭВМ и рассчитываются матрицы парных и частных коэффициентов корреляции, уравнение множественной регрессии, а также показатели, с помощью которых оценивается надежность коэффициентов корреляции и уравнения связи: критерий Стьюдента, критерий Фишера, средняя ошибка аппроксимации, множественные коэффициенты корреляции и детерминации.

Т а б л и ц а 7.5

Исходные данные для корреляционного анализа

№ п.п.	y	x 1	x 2	x 3	x 4	x 5
	22,5	23,8	24,7	32,4	2,40	2,70
	2,50	3,20	80,0	88,0	87,0	94,4
	8,00	7,30	7,90	9,90	25,0	23,0
	22,0	18,0	25,0	22,5	26,0	36,5

Изучая матрицы парных и частных коэффициентов корреляции, можно сделать вывод о тесноте связи между изучаемыми явлениями. Коэффициенты парной корреляции характеризуют тесноту связи между двумя показателями в общем виде с учетом взаимодействия с остальными факторами, определяющими уровень результативного показателя.

Данные табл. 7.6 (первый столбец) свидетельствуют о том, что все факторы оказывают ощутимое воздействие на уровень рентабельности. Особенно тесная связь рентабельности с материалоотдачей, фондоотдачей, качеством продукции и производительностью труда. С увеличением данных показателей уровень рентабельности повышается (прямая связь). При увеличении продолжительности оборота средств рентабельность снижается (обратная связь).

Матрица парных коэффициентов корреляции Т а б л и ц а 7.6

Показатель
y
x 1	0,75
x 2	0,73	0,34
x 3	0,74	0,29	0,40
x 4	-0,51	-0,33	-0,46	-0,45
x 5	0,72	0,40	0,22	0,36	-0,37

Однако необходимо отметить, что парные коэффициенты корреляции получены при условии воздействия других факторов на результат. Чтобы абстрагироваться от их влияния и получить количественную характеристику связи между результативным и факторными показателями в чистом виде, рассчитываются частные коэффициенты корреляции (табл. 7.7).

При сравнении частных коэффициентов корреляции с парными видно, что влияние других факторов на тесноту связи между уровнем рентабельности и исследуемыми факторами довольно значимое: частные коэффициенты корреляции намного ниже парных. Это говорит о том, что факторы, которые входят в данную корреляционную модель, оказывают на рентабельность не только непосредственное влияние, но и косвенное. Поэтому взаимосвязи, очищенные от влияния сопутствующих факторов, получились менее тесными. В некоторых случаях они могут оказаться более тесными, если исключить влияние факторов, которые действуют в противоположном направлении. По этой причине может измениться не только величина коэффициента корреляции, но и направление связи: в общем виде связь может быть прямой, а в чистом — обратной, и наоборот. Объясняется это тем, что при расчете парных коэффициентов корреляции изучается взаимосвязь между результативным и факторным показателем с учетом их взаимодействия и с другими факторами. Например, с повышением уровня оплаты труда рентабельность увеличивается, если темпы роста производительности труда обгоняют темпы роста его оплаты. Поэтому в общем виде взаимосвязь между уровнем рентабельности и уровнем оплаты труда будет прямой. Если взять непосредственную связь между этими показателями при условии неизменности производительности труда и других факторов, то получится, что при повышении оплаты труда рентабельность понижается. Здесь уже обратная зависимость и частный коэффициент корреляции будет со знаком минус.

Т а б л и ц а 7.7

Матрица частных коэффициентов корреляции

Показатель	y	x 1	x 2	x 3	x 4	x 5
y
x 1	0,59
x 2	0,48	-0,136
x 3	0,39	0,019	0,003
x 4	-0,36	0,090	-0,14	-0,14
x 5	0,31	0,098	0,16	0,48	0,082

Таким образом, с помощью парных и частных коэффициентов корреляции можно получить представление о тесноте связи между изучаемыми явлениями в общих и непосредственных соприкосновениях.

Значительный интерес представляют коэффициенты корреляции, характеризующие взаимосвязь факторов между собой. Как уже отмечалось, в корреляционную модель надо подбирать независимые между собой факторы. Если коэффициент корреляции двух факторов выше 0,85, то один из них необходимо исключить из модели. Исследование матрицы коэффициентов корреляции позволяет сделать вывод, что в данную модель включены факторы, не очень тесно связанные между собой.

При изучении тесноты связи надо иметь в виду, что величина коэффициентов корреляции является случайной, зависящей от объема выборки. Известно, что с уменьшением количества наблюдений надежность коэффициентов корреляции падает, и наоборот, при увеличении количества наблюдений надежность коэффициентов корреляции возрастает.

Значимость коэффициентов корреляции проверяется по критерию Стьюдента:

t = = 0,59 ∕ 0,103 = 5,72 (7.18)

где σ_r — среднеквадратическая ошибка коэффициента корреляции, которая определяется по формуле

σ _r = = 0,103. (7.19)

Если расчетное значение t выше табличного, то можно сделать заключение о том, что величина коэффициента корреляции является значимой. Табличные значения t находят по таблице значений критериев Стьюдента. При этом учитываются количество степеней свободы V = (n – 1) и уровень доверительной вероятности (в экономических расчетах обычно 0,05 или 0,01). В нашем примере количество степеней свободы равно n – 1 = 40 – 1 = 39. При уровне доверительной вероятности P = 0,05; t = 2,02. Поскольку t -фактическое (табл. 7.8)во всех случаях выше t -табличного, связь между результативным и факторными показателями является надежной, а величина коэффициентов корреляции — значимой.

Т а б л и ц а 7.8

Фактические значения критерия Стьюдента

Номер переменной	x 1	x 2	x 3	x 4	x 5
t -фактическое	5,72	3,9	2,9	2,6	2,16

Следующий этап корреляционного анализа — расчет уравнения связи (регрессии). Решение проводится обычно шаговым способом. Сначала в расчет принимается один фактор, который оказывает наиболее значимое влияние на результативный показатель, потом второй, третий и т.д. И на каждом шаге рассчитываются уравнение связи, множественный коэффициент корреляции и детерминации, F -отношение (критерий Фишера), стандартная ошибка и другие показатели, с помощью которых оценивается надежность уравнения связи. Величина их на каждом шаге сравнивается с предыдущей. Чем выше величина коэффициентов множественной корреляции, детерминации и критерия Фишера и чем ниже величина стандартной ошибки, тем точнее уравнение связи описывает зависимости, сложившиеся между исследуемыми показателями. Если добавление следующих факторов не улучшает оценочных показателей связи, то надо их отбросить, т.е. остановиться на том уравнении, где эти показатели наиболее оптимальны.

Сравнивая результаты на каждом шаге (табл.7.9), мы можем сделать вывод, что наиболее полно описывает зависимости между изучаемыми показателями пятифакторная модель, полученная на пятом шаге. В результате уравнение связи имеет вид

Y_х = 0,49 +3,65 x ₁ +0,09 x ₂ + 1,02 x ₃ – 0,122 x ₄ + 0,052 x ₅.

Коэффициенты уравнения показывают количественное воздействие каждого фактора на результативный показатель при неизменности других. В данном случае можно дать следующую интерпретацию полученному уравнению: рентабельность повышается на 3,65 % при увеличении материалоотдачи на 1 руб.; на 0,09 % — с ростом фондоотдачи на 1 коп.; на 1,02 % — с повышением среднегодовой выработки продукции на одного работника на 1 тыс. руб.; на 0,052 % — при увеличении удельного веса продукции высшей категории качества на 1%. С увеличением продолжительности оборота средств на 1 день рентабельность снижается в среднем на 0,122 %.

Таблица 7.9

Результаты расчета уравнения связи

№ п.п.		Уравнение связи R	D	F	е
Шаг 1 (введен х 1)	Yх = 5,81 + 7,68 x 1	0,59	0,35	50,3	1,895
Шаг 2 (введен х 2)	Yх = –1,11 + 5,12 x 1 + 0,15 x 2	0,75	0,56	57,6	1,548
Шаг З (введен х 3)	Yх = –6,84 + 3,93 x 1 + 0,11 х 2 + l,53 х 3	0,84	0,72	71,3	1,408
Шаг 4 (введен х 4)	Yх = –2,44 + 3,89 x 1 + 0,10 x 2 + l,37 x 3 – 0,12 x 4	0,88	0,77	88,8	1,398
Шаг 5 (введен х 5)	Yх = 0,49 + 3,65 x 1 + 0,09 х 2 + 1,02 x 3 –0,122 x 4 + 0,052 x 5	0,92	0,85	95,67	1,358

Коэффициенты регрессии в уравнении связи имеют разные единицы измерения, что делает их несопоставимыми, если возникает вопрос о сравнительной силе воздействия факторов на результативный показатель. Чтобы привести их в сопоставимый вид, все переменные уравнения регрессии выражают в долях среднеквадратического отклонения, другими словами, рассчитывают стандартизированные коэффициенты регрессии. Их еще называют бетта-коэффициентами по символу, который принят для их обозначения (β).

Бетта-коэффициенты и коэффициенты регрессии связаны следующим отношением:

β _i = . (7.20)

Бетта-коэффициенты показывают, что если величина фактора увеличится на одно среднеквадратическое отклонение, то соответствующая зависимая переменная увеличится или уменьшится на долю своего среднеквадратического отклонения. Сопоставление бетта-коэффициентов позволяет сделать вывод сравнительной степени воздействия каждого фактора на величину результативного показателя. В нашем примере наибольшее влияние на уровень рентабельности оказывают материалоотдача, фондоотдача и производительность труда (табл. 7.10);

По аналогии можно сопоставить и коэффициенты эластичности, которые рассчитываются по формуле

Э = . (7.21

Коэффициенты эластичности показывают, на сколько процентов в среднем изменяется функция с изменением аргумента на 1%.

Т а б л и ц а 7.10

Коэффициенты эластичности и бетта-коэффициенты

Номер переменной	x 1	x 2	x 3	x 4	x 5
Коэффициент эластичности	0,374	0,308	0,318	-0,080	0,061
Бетта-коэффициент	0,359	0,275	0,213	-0,118	0,133

Согласно данным табл. 7.10, рентабельность возрастает на 0,374% при увеличении уровня материалоотдачи на 1%, на 0,308% — при повышении фондоотдачи на 1% и т.д.