Определение необходимого объема выборки

Среднее значение признака, вычисленное по всей генеральной совокупности, называется генеральной средней и обозначается .

Среднее значение признака, вычисленное по выборке, называется выборочным средним и обозначается .

Аналогичным образом определяется генеральная дисперсия и выборочная дисперсия .

Вычисляя выборочное среднее для различных выборок одинакового объема n из одной генеральной совокупности, можно заметить, что эта величина не совпадает с генеральной средней и изменяется от выборки к выборке. Причина заключается в меньшем объеме выборки по сравнению с генеральной совокупностью

Средней ошибкой выборки m называется среднее квадратическое отклонение все х возможных значений выборочной средней от генеральной средней.

Средняя ошибка выборки характеризует среднюю величину возможных расхождений выборочной и генеральной средней.

При случайном повторном отборе

.

При случайном бесповторном отборе

,

где N – объем генеральной совокупности;

n – объем выборки.

Если признак является альтернативным и w – доля единиц выборке, обладающих признаком, а – доля единиц, не обладающих признаком, то дисперсия признака равна .

Средняя ошибка отбора для доли при случайном повторном отборе

.

Средняя ошибка отбора для доли при случайном бесповторном отборе

.

При увеличении объема выборки средняя ошибка выборки уменьшается.

Учитывая, что на основе выборочного обследования нельзя точно оценить изучаемый параметр генеральной совокупности, необходимо найти пределы, в которых он находится. Каждое отклонение от m имеет определенную вероятность. Зная среднюю ошибку выборки, с определенной вероятностью можно оценить отклонение выборочной средней от генеральной средней и установить пределы, в которых находится изучаемый параметр признак в генеральной совокупности.

Предельная ошибка выборки D определяется в долях средней ошибки

,

где t – коэффициент доверия, зависящий от вероятности P, с которой определяется предельная ошибка выборки.

Вероятность P определяется по специальным таблицам, в которых она вычисляется как функция t по формуле

.

Задав вероятность P, можно найти коэффициент доверия t. Это позволяет утверждать, что с вероятностью P генеральная средняя находится в пределах

.

При эта вероятность равна 0,997.

Можно решить и обратную задачу: задав предельную ошибку выборки, определить вероятность, с которой она может быть гарантирована. При этом. Зная D и m, сначала находят коэффициент доверия

,

а затем по таблице искомое значение вероятности.

При случайном повторном отборе предельная ошибка выборки равна

.

Отсюда можно найти необходимый объем выборки

.

Таким образом, для определения необходимого объема выборки должны быть заданы ее предельная ошибка и вероятность того, что эта ошибка не превысит заданного предела. В соответствии с этой вероятностью по таблице находят коэффициент доверия t.

Наиболее сложно определить дисперсию изучаемого признака в генеральной совокупности. Поскольку при большом объеме выборки выборочная дисперсия близка к генеральной дисперсии, то вместо генеральной дисперсии используют выборочную дисперсию.

Генеральную дисперсию можно оценить, зная коэффициент вариации по итогам предшествовавшего наблюдения

%.

Отсюда следует, что генеральная дисперсия равна

.

При случайном бесповторном отборе объем выборки определяется по формуле

.

Если в результате выборочного обследования необходимо установить долю единиц, обладающих определенным значением альтернативного признака, то дисперсия для доли будет равна pq. В этом случае объем выборки определяется по формуле

.

Если доля единиц p, обладающих признаком, неизвестна, то принимают , при этом значение дисперсии альтернативного признака максимально.

Если объем выборки , то выборка называется малой. В этом случае необходимо, во-первых, в формуле средней ошибки в знаменателе заменить n на n- 1, т.е. вычисления проводить по формуле

,

во-вторых, при нахождении вероятности допуска той или иной ошибки пользоваться таблицами распределения Стьюдента.