Теоретические кривые распределения

Допустим, что распределение непрерывного признака изображается графически гистограммой с равными интервалами и по оси ординат отложены плотности распределения. Если число наблюдений неограниченно растет, а длина интервала стремится к нулю, то ступенчатая гистограмма превращается в плавную кривую, называемую кривой распределения.

При изучении закономерностей распределения значений признака в вариационном ряду выдвигают гипотезу о виде теоретической кривой распределения. Анализируя частоты в эмпирическом распределении, можно проверить правильность выдвинутой гипотезы. Знание вида теоретической кривой распределения упрощает его анализ и вычисление показателей распределения.

Нормальное распределение

Чаще всего наблюдаемые значения признака являются случайной величиной.

Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта принимает одно и только одно возможное значение, заранее не известное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены.

Распределение непрерывной случайной величины x называется нормальным, если соответствующая ему кривая распределения описывается выражением

,

где x – значение признака;

– среднее арифметическое значение признака;

– дисперсия значений признака.

Нормальное распределение наиболее часто встречается в практике. Кривая нормального распределения имеет следующий вид (рис. 6)

 

 

Рис. 6. Кривая нормального распределения

Вид распределения определяется двумя параметрами и . При увеличении кривая распределения смещается вдоль оси x (рис. 7).

 

 

Рис. 7. Кривые нормального распределения при различных

. При увеличении дисперсии максимум кривой уменьшается и она растягивается вдоль оси x. При этом площадь под кривой распределения остается равной единице (рис. 8).

s 2^2 > s 1^2

x

f (x)

x

 

 

Рис. 8. Кривые нормального распределения при различных s ²

Свойства кривой нормального распределения.

1. Кривая симметрична и имеет максимум в точке .

2. Значения , моды и медианы совпадают.

3. Кривая асимптотически приближается к оси абсцисс при x ® ±¥. Это означает, что чем больше значение x отклоняется от , тем реже оно встречается.

4. Кривая имеет две точки перегиба на расстоянии ± s от .

5. Правило 3 s: в промежутке [ -3 s, + s ] находится 99,7% всех единиц совокупности (рис. 9).

+3 s

-3 s

f (x)

x

x

 

 

Рис. 9. Правило 3 s

Построение теоретической кривой распределения по эмпирическим данным называется выравниванием вариационного ряда.

Порядок расчета теоретических частот кривой нормального распределения по эмпирическим данным.

1. По эмпирическим данным рассчитать среднее значение вариационного ряда и среднее квадратическое отклонение s.

2. Вычислить нормированное отклонение каждого варианта от среднего значения

3. По таблице распределения функции

вычислить ее значения для всех t.

4. Вычислить теоретические частоты m' по формуле

,

где N – численность совокупности;

h_k – длина k- го интервала.

В случае равных интервалов .

Распределение Пуассона

Распределение Пуассона наблюдается в совокупностях, число единиц которых достаточно велико (N ≫100), а доля единиц, обладающих большими значениями признака мала. Распределение Пуассона описывает число заявок, поступающих в единицу времени в систему массового обслуживания.

Распределение Пуассона описывается формулой (рис.10)

,

где P (x) – вероятность того, что признак примет значение x.

– среднее арифметическое значение признака.

Рис. 10. Распределение Пуассона

 

Порядок расчета теоретических частот кривой распределения Пуассона по эмпирическим данным.

1. Найти среднее арифметическое значение вариационного ряда .

2. Вычислить значение e^-a.

3. Для каждого значения x вычислить теоретическую частоту по формуле

.

где N – число единиц в совокупности.