Выборочное корреляционное отношение

Для оценки тесноты линейной корреляционной связи между признаками в выборке служит выборочный коэффициент корреляции. Для оценки тесноты нелинейной корреляционной связи вводят новые сводные характеристики:

η_yx — выборочное корреляционное отношение Y к X;

η_xy —выборочное корреляционное отношение Х к Y.

Выборочным корреляционным отношением Y к Х называют отношение межгруппового среднего квадратического отклонения к общему среднему квадратическому отклонению признака Y:

η_yx = σ_межгр/σ_общ,

или в других обозначениях

.

 

Здесь

 

;

,

 

где n—объем выборки (сумма всех частот); n_x—частота значения х признака X; n_y—частота значения у признака Y; —общая средняя признака Y; —условная средняя признака У.

Аналогично определяется выборочное корреляционное отношение Х к Y:

.

Пример. Найти η_yx по данным корреляционной табл. 18. Таблица 18

у	X
			ny
		—
nx				n=50

Решение. Найдем общую среднюю:

= (38·15+12·25)/50= 17,4.

Найдем общее среднее квадратическое отклонение:

 

.

Найдем межгрупповое среднее квадратическое отклонение:

 

.

 

Искомое корреляционное отношение

 

 

Свойства выборочного корреляционного отношения

Поскольку η_xy обладает теми же свойствами, что и η_yx, перечислим свойства только выборочного корреляционного отношения η_yx, которое далее для упрощения записи будем обозначать через η и для простоты речи называть «корреляционным отношением».

Свойство 1. Корреляционное отношение удовлетворяет двойному неравенству

0≤ η ≤1.

Доказательство. Неравенство η≥0 следует из того, что η есть отношение неотрицательных чисел— средних квадратических отклонений (межгруппового к общему).

Для доказательства неравенства η≤1 воспользуемся формулой

D_общ = D_внгр + D_межгр

Разделив обе части равенства на D_общ получим

1 = D_внгр / D_общ + D_межгр/ D_общ,

или

1 = D_внгр / D_общ + η².

 

Так как оба слагаемых неотрицательны и сумма их равна единице, то каждое из них не превышает единицы; в частности, η²≤1. Приняв во внимание, что η≥0, заключаем:

0≤ η ≤1.

 

Свойство 2. Если η=0, то признак Н с признаком Х корреляционной зависимостью не связан. Доказательство. По условию,

η = σ_межгр/σ_общ=0.

 

Отсюда σ_межгр = 0 и, следовательно, D_межгр = 0.

 

Межгрупповая дисперсия есть дисперсия условных (групповых) средних относительно общей средней . Равенство нулю межгрупповой дисперсии означает, что при всех значениях Х условные средние сохраняют постоянное значение (равное общей средней). Иными словами, при η=0 условная средняя не является функцией от X, а значит, признак Y не связан корреляционной зависимостью с признаком X.

 

Замечание 1. Можно доказать и обратное предложение: если признак Y не связан с признаком Х корреляционной зависимостью, η=0.

 

Свойство 3. Если η=1, то признак Y связан с признаком Х функциональной зависимостью.

Доказательство. По условию,

η = σ_межгр/σ_общ=1.

 

Отсюда

σ_межгр=σ_общ.

Возведя обе части равенства в квадрат, получим

 

D_общ = D_межгр. (*)

 

Так как D_общ = D_внгр + D_межгр, то в силу (*)

 

D_внгр = 0. (**)

 

Поскольку внутригрупповая дисперсия есть средняя арифметическая групповых дисперсий (взвешенная по объемам групп), то из (**) следует, что дисперсия каждой группы, (значений Y, соответствующих определенному значению X) равна нулю. А это означает, что в группе содержатся равные значения Y, т. е. каждому значению Х соответствует одно значение V. Следовательно, при η=1 признак Y связан с признаком Х функциональной зависимостью.

 

Замечание 2. Можно доказать и обратное предположение:

если признак Y связан с признаком Х функциональной зависимостью, то η=1.

 

Приведем еще два свойства, опустив доказательства. Свойство 4. Выборочное корреляционное отношениене меньше абсолютной величины выборочного коэффициента корреляции: η≥|r_в|.

Свойство 5. Если выборочное корреляционное отношение равно абсолютной величине выборочного коэффициента корреляции, то имеет место точная линейная корреляционная зависимость.

Другими словами, если η=|r_в|, то точки (х₁, у₁), (x₂, y₂),..., (x_n, y_n) лежат на прямой линии регрессии, найденной способом наименьших квадратов.