Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей

Рассмотрим следующий вероятностный эксперимент Е. Пусть в пространстве определены случайные события А, В, С, … и их вероятности. Предположим, что в ходе нашего эксперимента Е событие А уже произошло. В данном эксперименте появление события А может каким-то образом изменить вероятности появления событий, связанных (зависимых) с ним.

Событие В называется зависимым от события А, если появление (или не появление) события А изменяет вероятность появления события В. Событие В называется независимым от события А, если появление (или не появление) события А не изменяет вероятность появления события В.

Рассмотрим два произвольных события A и B, причем P (B) ¹ 0.

Условной вероятностью события A при условии B (обозначается P (A | B)) называется вероятность события A, вычисленная при условии, что событие B произошло. По определению

 

P (A | B) = P (A Ç B)/ P (B). (4)

 

Вычисление условных вероятностей – это, по существу, переход в новое, урезанное заданным условием B пространство элементарных событий. Вероятности элементарных событий P (w _i) (w _i Î B) пропорциональны исходным. Для соблюдения условия нормировки в новом пространстве элементарных событий они делятся на P (B).

Аналогично

 

P (B | A) = P (A Ç B)/ P (A) (5)

 

в случае, если P (A) ¹ 0.

Формулы (2) и (3) часто записывают в виде

 

P (A Ç B) = P (B) P (A | B) = P (A) P (B | A) (6)

 

и называют теоремой умножения вероятностей.

Для произвольного числа n событий A ₁, A ₂,… A_n теорема умножения вероятностей имеет вид

 

P (A ₁ Ç A ₂ Ç … Ç A_n) = P (A ₁) P (A ₂| A ₁) … P (A_n | A ₁ Ç A ₂ Ç … Ç А_{n -1}),

 

то есть вероятность совместного появления нескольких событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие события произошли.

 

Пример 7 Студент пришел на зачет, зная из 30 вопросов только 20. Какова вероятность того, что он сдаст зачет, если для этого необходимо ответить хотя бы на два вопроса из трех, содержащихся в билете?

Решение. Обозначим события:

А = {студент сдаст зачет};

В = {студент ответит на три вопроса из трех, содержащихся в билете};

С = {студент ответит на два вопроса из трех, содержащихся в билете}.

События В и С несовместны. Событие А произойдет, если произойдет одно из событий В или С.

По теореме сложения вероятностей несовместных событий P (А) = .

Определим вероятности событий В и С.

В = {студент ответит на три вопроса из трех, содержащихся в билете};

В₁ ={студент ответит на первый вопрос, содержащийся в билете};

В₂ = {студент ответит на второй вопрос, содержащийся в билете};

В₃ = {студент ответит на третий вопрос, содержащийся в билете}.

 

Вероятность события В определим по формуле

 

Р(В) = Р(В₁) Р(В₂ | В₁) Р(В₃ | В₂ Ç В ₁ ),

где Р (В ₁) = (всего 30 вопросов, из которых 20 студент знает);

Р (В ₂| В ₁)= (всего осталось 29 вопросов, из них 19 студент знает);

Р (В ₃| В ₂ Ç В ₁) = (всего осталось 28 вопросов, из них 18 студент знает).

По теореме умножения вероятностей зависимых событий

P (В) = P (В ₁) P (В ₂| В ₁) P (В ₃| В ₂Ç В ₁) = = = 0,281.

Вероятность события С определим, используя теорему сложения вероятностей несовместных событий.

 

Р (С) = Р (С ₁) + Р (С ₂) + Р (С ₃),

 

где С ₁ = {студент отвечает на первый и второй вопросы, а на третий не отвечает};

С ₂ = {студент отвечает на первый и третий вопросы, а на второй не отвечает};

С ₃ = {студент отвечает на второй и третий вопросы, а на первый не отвечает}.

P (С ₁) = P (В ₁) P (В ₂| В ₁) P ( | В ₂Ç В ₁) = = =

= = 0,156.

P (С ₂) = P (В ₁) P ( | В ₁) P (В ₃| Ç В ₁) = = =

= = 0,156.

P (С ₃) = P () P (В ₂| ) P (В ₃| В ₂Ç ) = = =

= = 0,156.

Р(С) = Р(С ₁) + Р(С ₂) + Р(С ₃) = 0,156 + 0,156 +0,156 = 0,468.

По теореме сложения вероятностей несовместных событий P (А) = = 0,281 + 0,468 = 0,749.

 

Независимые события

Два события A и B называются независимыми, если

 

 

P (A Ç B) = P (A) P (B). (7)

 

 

Для пояснения естественности такого определения вернемся к теореме умножения вероятностей (6) и установим, в каких ситуациях из нее следует (7). Очевидно, что это может быть тогда, когда условная вероятность P (A | B) равна соответствующей безусловной вероятности события А: P (A | B) = P (A), то есть когда вероятность события А не зависит от того, произошло событие В или нет. (Аналогично, P (B | A) = P (B)).

В основе независимости событий лежит их физическая независимость, состоящая в том, что множества факторов, влияющих на исход эксперимента и обусловливающих появление этих событий, не пересекаются или почти не пересекаются.

События A ₁, A ₂,…, A_n называются независимыми в совокупности, если вероятность каждого из этих событий не зависит от появления любого числа остальных событий.

Теорема умножения вероятностей для независимых в совокупности событий A ₁, A ₂,…, A_n имеет вид

 

P (A ₁ Ç A ₂ Ç … Ç A_n) = P (A ₁) P (A ₂) … P (A_n).

 

Пример 8 При изготовлении изделие проходит три основные независимые операции. Вероятность получения стандартного изделия при первой операции равна 0,9, второй – 0,95, третьей – 0,8. Найти вероятность того, что:

а) изделие окажется стандартным;

б) изделие окажется нестандартным.

Решение. Обозначим события:

A _i = { i -ю операцию изделие прошло без брака}, i = 1, 2, 3;

B = {изделие окажется стандартным};

C = {изделие окажется нестандартным}.

Согласно условию: вероятность события A ₁ равна P (A ₁) = 0,9, вероятность события A ₂равна P (A ₂) = 0,95, вероятность события A ₃ равна P (A ₃) = 0,8.

Тогда вероятности противоположных событий:

,

,

.

Определим все события данного случайного эксперимента и соответствующие вероятности:

 

События	Вероятности
	Итого 1

 

а) По теореме умножения вероятностей независимых событий

.

 

б) Применяя теорему сложения вероятностей несовместных событий и теорему умножения вероятностей независимых событий, получим

+ + + + = 0,036 + 0,076 + 0,171 + 0,004 + 0,009 + 0,019 + 0,001 = 0,316.

События B = {изделие окажется стандартным} и C = {изделие окажется нестандартным} являются противоположными, то есть ,

= 1 – 0,684= 0,316.