Последовательности независимых испытаний. Формулы

Бернулли, Лапласа, Пуассона

Если производится несколько испытаний, таких, что вероятность рассматриваемого события A в каждом из испытаний не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называют независимыми относительно события A.

Испытаниями Бернулли называются повторные независимые испытания, в каждом из которых нас интересуют только два исхода (будем называть их «успех» и «неудача»), вероятности которых постоянны в каждом испытании.

Например, при многократном подбрасывании монеты (за успех принимаем выпадение герба, за неудачу – выпадение решки) вероятность успеха p , вероятность неудачи q = 1 – p . При многократном подбрасывании игральной кости (за успех принимаем выпадение на верхней грани «1», за неудачу – выпадение любого другого числа («2» или «3», или «4», или «5», или «6»)) вероятность успеха p , вероятность неудачи q = 1 – p .

Если производится n независимых испытаний в одинаковых условиях, в каждом из которых с одной и той же вероятностью p может произойти событие A, то вероятность P_n (m) того, что в этих n испытаниях событие A произойдет ровно m раз, определяется по формулам Бернулли, Лапласа или Пуассона.

1 Обычно при решении задач формула Бернулли применяется, если число экспериментов невелико (.

Формула Бернулли

 

, (10)

 

где q = 1 – p – вероятность непоявления события A в каждом из испытаний;

– число сочетаний из n элементов по m,

 

, где .

 

 

2 Очевидно, что при больших значениях n пользоваться формулой Бернулли затруднительно, так как придется вычислять значения факториалов больших чисел и возводить в большую степень числа, близкие к нулю (0 < p < 1). В этом случае можно использовать асимптотические формулы Лапласа, дающие тем лучшее приближенное значение P_n (m) и P_n (k ₁ £ m £ k ₂), чем больше n.

 

Локальная теорема Лапласа. Если вероятность p появления события A в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы (0 < p < 1), то вероятность того, что событие A появится в серии из n испытаний ровно m раз приближенно равна

 

, (11)

где .

 

(В приложении A приведена таблица значений функции , соответствующих положительным значениям аргумента.)

Функция j(x) является четной функцией, то есть j(– x) = j(x), для всех принимается j(x) = 0.

 

Интегральная теорема Лапласа. Если вероятность p наступления события A в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы (0 < p < 1), то вероятность того, что событие A появится в серии из n испытаний от k ₁ до k ₂ раз, приближенно равна

 

, (12)

 

где , .

 

В приложении Б приведены таблицы значений функции Лапласа

.

 

Функция F(x) нечетна, то есть F(– x) = – F(x). При x > 5 можно принять F(x) = 0,5.

3 Пусть число экспериментов Бернулли велико (), а вероятность наступления события A в каждом испытании очень мала (), тогда вероятность того, что событие A появится в серии из n испытаний ровно m раз, приближенно равна

(13)

где произведение .

Приведем таблицу, с помощью которой, можно определить формулу при решении задачи.

 

Таблица 1 – Условия применения формул при испытаниях Бернулли (цифры условные)

 

Число испытаний, n
Вероятность наступления события А, р(А)	0,6 0 < p < 1	0,6 0 < p < 1	0,006
Событие А появится m раз
Формула	Бернулли	Лапласа	Пуассона

 

Наивероятнейшее число m ₀ наступлений события A в серии из n испытаний, в каждом из которых оно может наступить с вероятностью p, определяется из двойного неравенства

 

np – q £ m ₀ £ np + p.

Пример 10 Предприятие для изучения потребительских предпочтений на товар в случайном порядке рассылает анкеты по адресам (почтовый опрос). Вероятность того, что заполненные потребителями анкеты «возвратятся» на предприятие, составляет . Определить:

а) какова вероятность того, что из разосланных анкет «возвратятся» не более анкет;

б) найдите наиболее вероятное число анкет, «возвратившихся» на предприятие, и соответствующую этому значению вероятность.

Рассмотрим решение задачи для трех вариантов:

Вариант	n	P	k
Первый		0,4
Второй		0,4
Третий		0,05

 

Решение. Первый вариант.

а) Для определения вероятности события В воспользуемся формулой Бернулли и теоремой сложения вероятностей несовместных событий:

 

Р(В) = + + + ;

;

;

;

.

Р(В) = + + + = 0,006047+ 0,040311+ 0,120932+ 0,214991 = 0,38228.

 

б) Условие задачи можно рассматривать как серию из n = 10 независимых испытаний, состоящих в рассылке анкет, в каждом из которых с вероятностью может осуществиться событие A = {посланная анкета «возвратится» на предприятие}. Вероятность того, что посланная анкета «не возвратится» на предприятие, равна q = 1 – 0,4 = 0,6.

Определим наиболее вероятное число анкет, «возвратившихся» на предприятие по формуле

np – q £ m ₀ £ np + p.

£ m ₀ £

3,4 £ m ₀ £ 4,4.

 

Наивероятнейшее число m ₀ = 4.

Так как число испытаний невелико для вычисления вероятностей событий B = {из 10 разосланных анкет менее 4 «возвратились» на предприятие} и C = {из 10 разосланных анкет ровно 4 «возвратились» на предприятие} можно воспользоваться точной формулой Бернулли.

Для определения вероятности события С воспользуемся формулой Бернулли

.

 

Решение. Второй вариант.

а) Условие задачи можно рассматривать как серию из n = 100 независимых испытаний, состоящих в рассылке анкет, в каждом из которых с вероятностью может осуществиться событие A = {посланная анкета «возвратится» на предприятие}. Вероятность того, что посланная анкета «не возвратится» на предприятие, равна q = 1 – 0,4 = 0,6.

Так как число испытаний достаточно велико для вычисления вероятностей событий B = {из 100 разосланных анкет менее 40 «возвратились» на предприятие} и C = {из 100 разосланных анкет ровно 40 «возвратились» на предприятие} можно воспользоваться приближёнными формулами Муавра-Лапласа:

а) Для вычисления вероятности события B воспользуемся интегральной теоремой Муавра-Лапласа при n = 100; p = 0,4; q = 1 – 0,4 = 0,6; k ₁ = 0; k ₂ = 40:

 

;

 

По таблицам значений функции находим F (–8,165) = = – 0,5, F (0) = 0,0.

Таким образом,

.

 

б) Определим наиболее вероятное число анкет, «возвратившихся» на предприятие по формуле

np – q £ m ₀ £ np + p.

£ m ₀ £

39,4 £ m ₀ £ 40,4.

 

Наивероятнейшее число m ₀ = 40.

Для вычисления вероятности события С воспользуемся локальной теоремой Муавра-Лапласа. В данном случае n = 100; p = 0,4; q = 0,6; m = 40:

По таблицам значений функции находим j (0) = 0,3989.

Ответ: а) вероятность того, что из 100 разосланных анкет не более 40 «возвратятся» на предприятие, равна 0,5; б) наиболее вероятное число разосланных анкет, «возвратившихся» на предприятие, составит 40, соответствующая этому числу вероятность 0,0814.

Решение. Третий вариант.

В данном случае для вычисления вероятностей воспользуемся приближенной формулой Пуассона с параметром a = np, так какчисло испытаний n = 200достаточно велико, а вероятность появления события в каждом испытании p = 0,05очень мала (p < 0,1), то есть в каждом отдельном опыте событие A появляется крайне редко:

Таблица значений функции приведена в приложении В.

a = np = .

 

а) Определим событие В = {не более двух анкет «возвратятся» на предприятие, то есть или 0, или 1, или 2}.

 

 

Вероятность события В

 

= 0,0028.

 

б) Условие задачи можно рассматривать как серию из n = 200 независимых испытаний, состоящих в рассылке анкет, в каждом из которых с вероятностью может осуществиться событие A = {посланная анкета «возвратится» на предприятие}. Вероятность того, что посланная анкета «не возвратится» на предприятие, равна q = 1 – 0,05 = 0,95.

Определим наиболее вероятное число анкет, «возвратившихся» на предприятие, по формуле

np – q £ m ₀ £ np + p,

£ m ₀ £

9,05 £ m ₀ £ 10,05.

 

Наивероятнейшее число m ₀ = 10.

Определим событие С = {10 анкет «возвратятся» на предприятие}.

Вероятность события С

 

.

 

Ответ: а) вероятность того, что из 200 разосланных анкет не более 2 «возвратятся» на предприятие, равна 0,002769; б) наиболее вероятное число разосланных анкет, «возвратившихся» на предприятие, составит 10, соответствующая этому числу вероятность 0,12511.

Вопросы для самоконтроля

 

1 Какие испытания называются независимыми? Приведите примеры.

2 Какие испытания называются испытаниями Бернулли? Приведите примеры.

3 При каких условиях применяется формула Бернулли?

4 Что определяется по формуле Бернулли?

5 При каких условиях применяется предельная теорема Пуассона?

6 При каких условиях применяются предельные теоремы Myaвpa-Лапласа?

7 Что определяется по локальной теореме Муавра-Лапласа?

8 Что определяется по интегральной теореме Муавра-Лапласа?

9 Какое число называется наивероятнейшим числом наступлений события A в серии из n испытаний?

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ