Равномерный закон распределения

Непрерывная случайная величина, которая принимает значения, только принадлежащие отрезку [ a, b ] с постоянной плотностью распределения, называется распределенной по равномерному закону.

Функция плотности распределения вероятностей определяется соотношением

 

Найдем функцию распределения данной случайной величины:

 

Графики функций f (x) и F (x) изображены на рисунках 15 и 16.

 

Рисунок 15 – График функции f (x) равномерного распределения	Рисунок 16 – График функции F (x) равномерного распределения

 

Математическое ожидание случайной величины X, распределенной по равномерному закону на участке [ a, b ], как следует из механической интерпретации (центр массы), равно абсциссе середины участка: M [ X ] = (a + b)/2. Этот же результат можно получить и вычисляя интеграл:

 

 

Дисперсию случайной величины X также можно найти, исходя из механической интерпретации (момент инерции распределения относительно центра массы): D [ X ] = (b – a)²/12. Тот же результат можно получить, вычисляя интеграл:

 

.

 

Среднее квадратическое отклонение равномерно распределенной случайной величины

Моды равномерное распределение не имеет; его медиана из соображений симметрии равна (a + b)/2. Из тех же соображений симметрии коэффициент асимметрии A [ X ] = 0. Коэффициент эксцесса случайной величины X равен –1,2: Ex [ X ] = –1,2; как и следовало ожидать, он отрицателен.

Примером случайной величины, которая имеет равномерный закон распределения, является время ожидания регулярных событий, например, время ожидания поезда в метрополитене, время ожидания автобуса определенного маршрута на остановке.

Рассмотрим несколько примеров случайных величин, имеющих равномерное распределение. При проведении измерений некоторой величины с помощью прибора с крупными делениями ошибки округления распределены по равномерному закону. Очевидно, что равномерное распределение имеют и ошибки, возникающие от округления данных при расчетах.

 

Пример 17 Поезда метрополитена идут с интервалом в 4 минуты. Пассажир приходит на платформу поезда в произвольный момент времени. Найти вероятность того, что он будет ожидать прихода поезда не более одной минуты. Найти среднее время ожидания поезда пассажиром, вычислить дисперсию и среднее квадратическое отклонение времени ожидания поезда пассажиром.

Решение. Рассмотрим случайную величину X – время ожидания пассажиром поезда. Все возможные значения данной случайной величины принадлежат отрезку [0; 4], и, согласно условию, все эти значения равновозможны. Следовательно, случайная величина распределена по равномерному закону с параметрами a = 0 и b = 4. Функция плотности распределения вероятностей данной случайной величины:

 

 

Найдем вероятность того, что пассажир будет ожидать поезд не более одной минуты:

.

 

На рисунке 17 штриховкой выделена фигура, площадь которой равна вероятности

Рисунок 17 – График плотности распределения вероятностей
случайной величины X – времени ожидания пассажиром поезда

 

Среднее время ожидания прихода поезда пассажиром

 

M [ X ] = (a + b)/2 = (0 + 4)/2 = 2,0 [мин].

 

Дисперсия

 

 

Среднее квадратическое отклонение