Вероятность и случайные величины

ВЕРОЯТНОСТЬ И СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

 

Методические указания и варианты заданий

по теории вероятностей

 

 

Минск 2012

*************************************

Методические указания предназначены для студентов, изучающих раздел «Теория вероятностей» в рамках общего курса математики. Они ставят своей целью помочь студентам лучше усвоить теоретический и практический материал по классической теории вероятностей и теории случайных величин. В каждом разделе приводится решение типовых задач. Для закрепления материала студентам предлагается выполнить курсовое задание по рассматриваемым темам.

Настоящие методические указания могут использоваться студентами на всех факультетах и специальностях, где ведется курс теории вероятностей.

Предлагаемые методические указания ставят своей целью помочь студентам второго курса усвоить теоретический и практический материал по теме «Теория вероятностей». В них рассматриваются основные вопросы классической теории вероятностей и теории дискретных и непрерывных случайных величин. В каждом разделе приводится решение типовых задач. Для закрепления материала студентам предлагается выполнить задание по рассматриваемым темам. Каждому студенту группы выдаются индивидуальные задачи.

 

Оглавление

I. КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 3

1. Классическое определение вероятности 3

2. Геометрические вероятности 4

3. Теоремы сложения и умножения вероятностей 5

4. Формула полной вероятности и формула Байеса 6

5. Формула Бернулли 7

II. Случайные величины 7

1. Дискретные случайные величины 8

2. Непрерывные случайные величины 9

3. Нормальный закон распределения 11

Варианты индивидуальных заданий 12

Вариант № 1 12

Вариант № 2 13

Вариант № 3 14

Вариант № 4 15

Вариант № 5 16

Вариант № 6 17

Вариант № 7 18

Вариант № 8 19

Вариант № 9 20

Вариант № 10 21

Вариант № 11 22

Вариант № 12 23

Вариант № 13 24

Вариант № 14 25

Вариант № 15 26

Вариант № 16 27

Вариант № 17 28

Вариант № 18 29

Вариант № 19 30

Вариант № 20 31

Вариант № 21 32

Вариант № 22 33

Вариант № 23 34

Вариант № 24 35

Вариант № 25 36

Вариант № 26 37

Вариант № 27 38

Вариант № 28 39

Вариант № 29 40

Вариант № 30 41

Рекомендуемая литература 43

I. КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

 

Основным объектом классической теории вероятности является так называемое случайное событие, то есть событие, которое может произойти или не произойти в результате проведенного опыта. Числовая величина, характеризующая степень возможности данного события, называется его вероятностью.

 

Геометрические вероятности

Если множество возможных исходов опыта можно представить в виде отрезка прямой или в виде некоторой плоской или трехмерной области, а множество исходов, благоприятных событию — как часть этой области, то вероятность рассматриваемого события определяется следующим образом:

где — длина отрезка (площадь или объем области), задающего множество возможных исходов, а — соответствующая мера множества благоприятных исходов.

 

Пример 3. В круг наудачу брошена точка. Найти вероятность того, что она не попадет в правильный треугольник, вписанный в этот круг.

Решение. В этом случае мерой множества возможных исходов является площадь круга: а мерой множества благоприятных исходов — разность площадей круга и треугольника: . Следовательно, вероятность заданного события равна

Формула Бернулли

Рассмотрим случай, когда требуется определить не вероятность осуществления некоторого события в одном испытании, а вероятность того, что это событие произойдет заданное количество раз в серии из опытов. Будем считать при этом, что вероятность в каждом опыте одинакова и результат каждого опыта не зависит от результатов остальных. Такая постановка задачи называется схемой независимых испытаний. При выполнении указанных условий вероятность того, что при проведении независимых испытаний событие будет наблюдаться ровно раз (неважно, в каких именно опытах), определяется по формуле Бернулли:

где — вероятность появления в каждом испытании, а — вероятность того, что в данном опыте событие не произошло.

Пример 7. Победу в волейбольном матче одерживает команда, выигравшая 3 партии. Найти вероятность того, что матч между командами, для которых вероятность выигрыша каждой партии равна соответственно 0,8 и 0,2, будет состоять из 5 партий.

Решение. Для того, чтобы потребовалось играть пятую партию, нужно, чтобы после четырех партий счет в матче был . Следовательно, каждая из команд должна выиграть любые две партии из четырех. Если есть вероятность выигрыша в каждой партии для первой команды, а — вероятность ее проигрыша, то, применяя формулу Бернулли, найдем, что

II. Случайные величины

Во многих задачах теории вероятности удобнее оперировать не понятием случайного события, для которого существуют только две возможности: оно может произойти или не произойти в результате опыта, а понятием так называемой случайной величины, то есть величины, которая при проведенном испытании может принимать различные значения, причем заранее не известно, какие именно. Если возможный диапазон значений такой величины представляет собой конечное или счетное множество, она называется дискретной случайной величиной, а если эти значения заполняют целиком некоторый интервал — непрерывной случайной величиной.

Варианты индивидуальных заданий

Вариант № 1

1) Из колоды, в которой содержится 36 карт, выбираются без возвращения 2 карты. Найти вероятность того, что будут выбраны карты одной масти.

2) На плоскости проведены параллельные линии, расстояния между которыми попеременно равны 1,5 и 8 см. Найти вероятность того, что наудачу брошенный на эту плоскость круг радиуса 2,5 см не будет пересечен ни одной линией.

3) В урне содержится 7 белых, 5 черных и 8 красных шаров. Шары выбираются наугад, причем белый или черный шар в урну не возвращается, а извлеченный из урны красный шар после проверки его цвета укладывается назад в урну. Найти вероятность того, что среди первых двух последовательно вынутых шаров будет один черный.

4) Машина-экзаменатор на каждую задачу предлагает четыре ответа, из которых только один верный. В билете пять задач. Студент, не желая их решать, нажимает на клавиши случайным образом. Какова вероятность сдать зачет машине-экзаменатору, если для получения положительной оценки надо решить не менее трех задач.

5) Стрелок дважды стреляет по мишени, состоящей из трех концентрических кругов. За попадание в центральный круг дается три очка, в окружающее его кольцо — два и за попадание во внешнее кольцо — одно очко. Вероятности попадания в эти части мишени равны соответственно 0,2, 0,3 и 0,3. Найти закон распределения общего числа набранных очков.

6) В каждом из двух таймов футбольного матча обе команды вместе забивают три мяча с вероятностью 0,2, два мяча — с вероятностью 0,2, один мяч — с вероятностью 0,3 и с вероятностью 0,3 не забивают мячей. Найти математическое ожидание общего числа забитых в матче мячей.

7) Плотность вероятности непрерывной случайной величины имеет вид:

а) Найти значение параметра . б) Построить график функции распределения . в) Найти , и . г) Найти вероятность того, что случайная величина примет значения из интервала (–1; 1).

8) Найти математическое ожидание и дисперсию нормально распределенной случайной величины , если известно, что и . Построить кривую распределения и найти ее максимум.

Вариант № 2

1) Из полного набора костей домино наугад выбираются две. Определить вероятность того, что обе они — дубли.

2) На отрезке длины наудачу поставлены две точки и Найти вероятность того, что точка будет ближе к точке чем к точке .

3) В тире имеется пять ружей, вероятности попадания из которых равны соответственно 0,5, 0,6, 0,7, 0,8 и 0,9. Определить вероятность попадания при одном выстреле, если стрелок берет одно из ружей наудачу.

4) В волейбольном матче игра происходит до тех пор, пока одна из команд не выиграет трех партий. Вероятность победы команды в каждой партии равна 0,4. Определить вероятность того, что в матче победит команда , если известно, что она проиграла вторую партию.

5) Во время эстафетных соревнований по биатлону спортсмену требуется поразить на огневом рубеже 5 мишеней, имея для этого 7 патронов. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле составляет 0,8. Определить вероятность того, что все мишени будут поражены ровно семью патронами.

6) В каждом из двух таймов футбольного матча обе команды вместе забивают три мяча с вероятностью 0,1, два мяча — с вероятностью 0,2, один мяч — с вероятностью 0,4 и с вероятностью 0,3 не забивают мячей. Определить закон распределения и дисперсию общего числа забитых в матче мячей.

7) Плотность вероятности непрерывной случайной величины имеет вид:

а) Найти значение параметра . б) Построить график функции распределения . в) Найти , и . г) Найти вероятность того, что случайная величина примет значения из интервала (3; 4).

8) Независимые случайные величины имеют нормальный закон распределения с параметрами , . Рассматривается случайная величина . С помощью неравенства Чебышева оценить вероятности , .

Вариант № 3

1) Имеется урна, в которой 3 белых и 6 черных шаров. Определить вероятность того, что при выборе из урны двух шаров они окажутся разных цветов.

2) На плоскость с нанесенной на ней квадратной сеткой многократно бросается монета радиуса , в результате чего установлено, что в 40 % случаев монета не пересекает ни одной стороны квадрата. Оценить размер сетки.

3) В волейбольном матче игра происходит до тех пор, пока одна из команд не выиграет трех партий. Вероятность победы команды в каждой партии равна 0,4. Определить вероятность того, что команда победит со счетом 3:0.

4) Для контроля продукции из 3 партий деталей взята для испытания 1 деталь. Как велика вероятность обнаружения бракованной продукции, если в одной партии 2/3 деталей бракованные, а в двух других — все доброкачественные?

5) Стрелок производит восемь выстрелов по мишени, состоящей из центральной части, за попадание в которую он получает 2 очка, и остальной части, за попадание в которую стрелок получает 1 очко. Определить вероятность того, что стрелок наберет 14 очков, если вероятность попадания в центральную часть круга равна 0,1, а в остальную часть — 0,3.

6) Из полного набора костей домино наугад выбираются две. Найти закон распределения и математическое ожидание количества появлений цифры «4» на выбранных костях.

7) Плотность вероятности непрерывной случайной величины имеет вид:

а) Найти значение параметра . б) Построить график функции распределения . в) Найти , и . г) Найти вероятность того, что случайная величина примет значения из интервала (3; 5).

8) Случайная величина имеет нормальный закон распределения. Известно, что , . Найти: а) плотность вероятности случайной величины и ее значения в точках , , ; б) вероятности

Вариант № 4

1) В розыгрыше первенства по баскетболу участвуют 18 команд, из которых случайным образом формируются две группы по 9 команд в каждой. Среди участников соревнований имеется 5 команд экстра-класса. Найти вероятность того, что все эти команды попадут в одну и ту же группу.

2) На окружности радиуса наудачу поставлены три точки Какова вероятность того, что треугольник — остроугольный?

3) Из полного набора костей домино наугад выбираются две. Найти вероятность того, что выбранные кости можно приставить друг к другу.

4) Событие наступает в том случае, если событие появится не менее трех раз. Определить вероятность появления события , если вероятность события в каждом опыте равна 0,35 и произведено 5 независимых опытов.

5) Из колоды в 52 карты выбираются 4 карты. Для случайной величины — количества карт червонной масти среди отобранных — найти закон распределения и математическое ожидание.

6) Во время эстафетных соревнований по биатлону спортсмену требуется поразить на огневом рубеже 5 мишеней, имея для этого 7 патронов. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле составляет 0,8. Найти дисперсию случайной величины — числа пораженных мишеней.

7) Плотность вероятности непрерывной случайной величины имеет вид:

а) Найти значение параметра . б) Построить график функции распределения . в) Найти , и . г) Найти вероятность того, что случайная величина примет значения из интервала (5; 6).

8) Случайная величина имеет нормальный закон распределения с параметрами , . Найти: а) плотность вероятности б) математическое ожидание и дисперсию; в) вероятности

Вариант № 5

1) На девяти карточках написаны цифры: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Две из них вынимаются наугад и укладываются на стол в порядке появления, затем читается полученное число. Найти вероятность того, что оно будет четным.

2) Какова вероятность того, что из трех взятых наудачу отрезков длины не более можно построить треугольник?

3) Батарея из трех орудий произвела залп, причем два снаряда попали в цель. Найти вероятность того, что первое орудие дало попадание, если вероятности попадания в цель первым, вторым и третьим орудиями равны соответственно 0,4, 0,3 и 0,5.

4) Два баскетболиста делают по три броска мячом в корзину. Вероятности попадания мяча при каждом броске равны соответственно 0,6 и 0,7. Найти вероятность того, что у обоих будет равное количество попаданий.

5) В урне 5 белых и 3 черных шара. Из нее наудачу вынимают 3 шара. Найти закон распределения случайного числа белых шаров среди отобранных.

6) Найти дисперсию дискретной случайной величины – числа появлений события в пяти независимых испытаниях, если вероятность появления события в каждом испытании равна 0,3.

7) Плотность вероятности непрерывной случайной величины имеет вид:

а) Найти значение параметра . б) Построить график функции распределения . в) Найти , и . г) Найти вероятность того, что случайная величина примет значения из интервала (2; 3).

8) Случайная величина имеет нормальный закон распределения, причем и . Найти и .

Вариант № 6

1) Бросаются одновременно три игральные кости. Найти вероятность того, что сумма очков на всех костях не превосходит пяти.

2) Начерчены пять концентрических окружностей, радиусы которых равны соответственно . Круг радиуса r и два кольца с внешними радиусами и заштрихованы. В круге радиуса наудачу выбрана точка. Определить вероятность попадания этой точки в заштрихованную область.

3) В читальном зале есть 10 учебников по теории вероятностей, из них 4 в переплете. Библиотекарь взял наудачу два учебника. Найти вероятность того, что только один учебник в переплете.

4) Характеристика материала, из которого изготовлена продукция, с вероятностями 0,09; 0,16; 0,25; 0,25; 0,16 и 0,09 может находиться в шести различных интервалах. В зависимости от свойств материала вероятности получения первосортной продукции равны соответственно 0,2; 0,3; 0,4; 0,4; 0,3 и 0,2. Определить вероятность получения первосортной продукции.

5) Стрелок производит 7 выстрелов по различным мишеням, причем выстрелы по каждой мишени производятся до первого попадания в нее, после чего выстрелы производятся по следующей мишени. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,8. Найти закон распределения случайной величины — числа пораженных мишеней.

6) В каждом из трех периодов хоккейного матча команда забивает две шайбы с вероятностью 0,4, одну шайбу — с вероятностью 0,3 и не забивает шайб с вероятностью 0,3. Определить дисперсию количества шайб, забитых в матче.

7) Плотность вероятности непрерывной случайной величины имеет вид:

а) Найти значение параметра . б) Построить график функции распределения . в) Найти , и . г) Найти вероятность того, что случайная величина примет значения из интервала (7; 9).

8) Случайная величина имеет нормальный закон распределения. Известно, что . Найти:а) математическое ожидание и дисперсию; б) вероятность .

Вариант № 7

1) Из колоды в 52 карты выбираются случайным образом без возвращения 2 карты. Найти вероятность того, что будут выбраны карты разных значений.

2) Найти вероятность того, что монета радиуса , брошенная на бесконечную шахматную доску с клетками шириной , пересечет не более одной стороны клетки.

3) Имеется три ящика, в первом из которых 6 стандартных и 3 бракованных детали, во втором — 5 стандартных и 4 бракованных и в третьем — 7 стандартных и 4 бракованных. Найти вероятность того, что если из каждого ящика выбрать по детали, то среди них будет одна стандартная и две бракованных.

4) Имеется 5 урн следующего состава: две урны состава — по 1 белому и 4 черных шара; одна урна состава — 2 белых и 3 черных шара; две урны состава — по 3 белых и 2 черных шара. Из одной наудачу выбранной урны взят шар, он оказался белым. Найти вероятность того, что этот шар был вынут из урны третьего состава.

5) Из последовательности чисел 1, 2, 3, …, 99, 100 выбирают наугад с возвращением 10. Найти вероятность того, что среди них кратных 7 будет не более двух.

6) В каждом из трех периодов хоккейного матча команда забивает две шайбы с вероятностью 0,3, одну шайбу — с вероятностью 0,5 и не забивает шайб с вероятностью 0,2. Найти закон распределения числа шайб, забитых в матче.

7) Плотность вероятности непрерывной случайной величины имеет вид:

а) Найти значение параметра . б) Построить график функции распределения . в) Найти , и . г) Найти вероятность того, что случайная величина примет значения из интервала (–1; 1).

8) Браковка шариков для подшипников производится следующим образом: если шарик проходит через отверстие диаметра , но не проходит через отверстие диаметра , то шарик считается годным. Если какое-либо из этих условий нарушается, то шарик бракуется. Считается, что диаметр шарика — случайная величина, распределенная по нормальному закону с параметрами , , где . Каким следует выбрать коэффициент , чтобы брак составлял не более 3 % всей продукции?

Вариант № 8

1) Из полного набора костей домино наугад выбираются две. Найти вероятность того, что обе они — не дубли.

2) На отрезке длины наудачу поставлены две точки и . Найти вероятность того, что длина отрезка будет меньше расстояния от точки до ближайшей к ней точке.

3) Орудие осуществляет стрельбу по цели, для поражения которой необходимо попасть в нее дважды. Вероятность попадания в цель при первом выстреле равна 0,5; в дальнейшем она не меняется при промахах, но после первого попадания вероятность промаха при дальнейших выстрелах уменьшается вдвое. Боекомплект составляет 5 снарядов. Найти вероятность того, что цель будет поражена, если первый выстрел был точным.

4) Известно, что 96 % выпускаемой продукции удовлетворяют стандарту. Упрощенная схема контроля признает пригодной стандартную продукцию с вероятностью 0,98 и нестандартную — с вероятностью 0,05. Определить вероятность того, что изделие, прошедшее упрощенный контроль, удовлетворяет стандарту.

5) Во время эстафетных соревнований по биатлону требуется поразить на огневом рубеже 5 мишеней, имея для этого 7 патронов. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле составляет 0,7. Определить вероятность того, что при стрельбе на двух огневых рубежах спортсмен поразит все мишени, израсходовав при этом 12 патронов.

6) Из урны, содержащей 3 белых и 4 черных шара, извлекаются без возвращения шары до появления белого шара. Найти закон распределения и математическое ожидание случайного числа вынутых из урны шаров.

7) Плотность вероятности непрерывной случайной величины имеет вид:

а) Найти значение параметра . б) Построить график функции распределения . в) Найти , и . г) Найти вероятность того, что случайная величина примет значения из интервала (1/4; 3/4).

8) Средняя температура в квартире в период отопительного сезона равна 22°C, а ее среднее квадратическое отклонение — 0,5°C. С вероятностью, не меньшей 0,96, найти границы, в которых заключена температура в квартире, считая ее нормально распределенной случайной величиной.

Вариант № 9

1) Имеется урна, в которой 4 белых, 3 красных и 7 черных шаров. Определить вероятность того, что при выборе из урны двух шаров они окажутся белыми.

2) Из отрезка [–1; 2] наудачу взяты два числа. Найти вероятность того, что их сумма больше единицы, а произведение меньше единицы.

3) В ящике содержится 6 деталей типа , 5 — типа и 3 — типа . Детали выбираются наугад, причем вынутая деталь типа или откладывается в сторону, а извлеченная деталь типа возвращается назад в ящик. Определить вероятность того, что если выбрать 2 детали, то они будут разных типов.

4) Производится 4 независимых опыта, в каждом из которых событие происходит с вероятностью 0,3. Событие наступает с вероятностью, равной 1, если событие произошло не менее двух раз; не может наступить, если событие не имело места; и наступает с вероятностью 0,6, если событие А имело место один раз. Найти вероятность появления события .

5) Стрелок дважды стреляет по мишени, состоящей из трех концентрических кругов. За попадание в центральный круг дается три очка, в окружающее его кольцо — два, и за попадание во внешнее кольцо — одно очко. Вероятности попадания в эти части мишени равны соответственно 0,3, 0,3 и 0,1. Найти закон распределения общего числа набранных очков.

6) Из колоды в 32 карты выбирается 4 карты. Найти математическое ожидание числа карт трефовой масти среди отобранных.

7) Плотность вероятности непрерывной случайной величины имеет вид:

а) Найти значение параметра . б) Построить график функции распределения . в) Найти , и . г) Найти вероятность того, что случайная величина примет значения из интервала (15; 17).

8) Случайная величина имеет нормальный закон распределения с параметрами , . Найти вероятность того, что модуль этой случайной величины примет значение, большее .

Вариант № 10

1) Из последовательности чисел , , …, наудачу выбираются два числа. Какова вероятность того, что одно из них меньше , а другое больше , где — произвольное целое число?

2) На отрезке длины наудачу поставлены две точки и . Найти вероятность того, что длина отрезка меньше .

3) Два баскетболиста делают по три броска мячом в корзину. Вероятности попадания мяча при каждом броске равны соответственно 0,6 и 0,7. Найти вероятность того, что у первого баскетболиста будет больше попаданий, чем у второго.

4) Литье в болванках поступает из двух заготовительных цехов: 65 % из первого и 35 % — со второго. При этом материал первого цеха имеет 15 % брака, а второго — 25 %. Найти вероятность того, что одна взятая наугад болванка без дефектов.

5) В партии из 12 деталей имеется 3 бракованных. Из партии случайным образом извлечены 3 детали. Составить ряд распределения числа доброкачественных деталей среди отобранных.

6) Стрелок производит 7 выстрелов по различным мишеням, причем выстрелы по каждой мишени производятся до первого попадания в нее, после чего выстрелы производятся по следующей мишени. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,5. Найти дисперсию числа пораженных мишеней.

7) Плотность вероятности непрерывной случайной величины имеет вид:

а) Найти значение параметра . б) Построить график функции распределения . в) Найти , и . г) Найти вероятность того, что случайная величина примет значения из интервала (–0,5; 1,5).

8) Найти математическое ожидание и дисперсию нормально распределенной случайной величины , если известно, что и . Построить кривую распределения и найти ее максимум.

Вариант № 11

1) Имеется пять билетов стоимостью по одному рублю, три билета по три рубля и два билета по пять рублей. Наугад берутся три билета. Найти вероятность того, что хотя бы два из них имеют одинаковую стоимость.

2) Какова вероятность того, что сумма трех наудачу взятых отрезков, длина каждого из которых не превосходит будет больше

3) Имеется 10 одинаковых по виду урн, из которых в 9 находится по два черных и два белых шара, а в одной — пять белых и один черный шар. Из урны, взятой наудачу, извлечен белый шар. Какова вероятность того, что он извлечен из урны, содержащей пять белых шаров?

4) В волейбольном матче игра происходит до тех пор, пока одна из команд не выиграет трех партий. Вероятность победы команды в каждой партии равна 0,7. Определить вероятность того, что команда победит со счетом 3:1.

5) Во время эстафетных соревнований по биатлону спортсмену требуется поразить на огневом рубеже 5 мишеней, имея для этого 7 патронов. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле составляет 0,6. Найти закон распределения и математическое ожидание числа пораженных мишеней.

6) В каждом из трех матчей хоккейного турнира команда с вероятностью 0,2 одерживает победу, получая за нее 2 очка, с вероятностью 0,4 играет вничью, получая 1 очко, и с вероятностью 0,4 терпит поражение, не получая за это очков. Найти дисперсию общего числа набранных очков.

7) Плотность вероятности непрерывной случайной величины имеет вид: