Характеристики излучения в случайно-неоднородной среде с гауссовской функцией корреляции

 

Вычисление приведенных интегралов можно осуществить аналитическим путем и сделать ряд заключений, не конкретизируя вида функции или взяв для нее аппроксимирующую кривую. Не приводя подробных вычислений, сформулируем основные теоретические выводы, вытекающие из конечных соотношений для неоднородностей, характерные линейные размеры которых значительно превышают длину волны

Функция корреляции может быть аппроксимирована кривой Гаусса, достаточно хорошо отображающей встречающиеся реальные условия:

(160)

 

Несложно получить асимптотические выражения для дисперсий флуктуаций уровня и фазы для двух значений величины D, называемой волновым параметром:

, (161)

где - радиус первой зоны Френеля.

Рассмотрим случай D >>1. При этом

(162)

Таким образом, для случая больших D получили, что флуктуации уровня и фазы одинаковы и растут пропорционально расстоянию до точке приема z, – длине трассы.

Пусть теперь D <<1.

Тогда

(163)

. (164)

 

В этом случае средний квадрат случайных вариаций фазы растет пропорционально расстоянию, а средний квадрат флуктуаций уровня – кубу расстояния. Дело в том, что при малых значениях волнового параметра средний размер неоднородностей больше первой зоны Френеля:

(165)

Следовательно, в пределах зоны Френеля отклонения показателя преломления имеют один знак. Волны, рассеиваемые отдельными элементами объема, приходят в точку приема в фазе. Вследствие этого флуктуации амплитуды быстро возрастают с увеличением расстояния (пропорционально кубу расстояния). В случае малых по сравнению с зоной Френеля неоднородностей область, формирующая рассеянный сигнал, содержит большое число элементов как с положительными, так и с отрицательными отклонениями показателя преломления от среднего. В результате далеко не все волны, создаваемые отдельными элементами рассеивающего объема, приходят в точку приема в одной или мало отличающихся фазах. Это приводит к их частичной компенсации, в силу чего рост флуктуаций с расстоянием происходит сравнительно медленно, пропорционально расстоянию в первой степени, в соответствии с соотношением (162).

Не менее важными, а в большинстве случаев –особенно существенными статистическими характеристиками случайных вариаций уровня и фазы волн, распространяющихся в атмосфере, служат функции или коэффициенты корреляции, представляющие количественную оценку связи одной флуктуирующей величины с другой или двух ее разнесенных во времени или пространстве значений.

Соответствующие функции корреляции для флуктуаций уровня и фазы, а также взаимные корреляции между уровнем и фазой могут быть вычислены с использованием соотношений (157) и (158) как среднее значение произведения двух соответствующих величин.

Приведем конечный результат этого вычисления для пространственной функции корреляции флуктуаций показателя преломления в виде гауссоиды.

Для больших значений волнового параметра (фактически, для типичных тропосферных трасс) получаем:

.

Если ввести дополнительное предположение

, (166)

то вычисления пространственного коэффициента корреляции между величинами фазы и уровня в двух точках, разнесенных вдоль трассы, приводят к следующим соотношениям:

. (167)

Отсюда легко найти радиус или интервал корреляции, определяемый как расстояние, на котором коэффициент корреляции принимает значение 0,5 (или 1/ e):

(168)

Это соотношение показывает, что интервал продольной корреляции уровня и фазы в рассматриваемом случае больших D, когда , значительно превышает интервал корреляции флуктуаций показателя преломления, определяемый размером неоднородностей .

Соотношения (157) и (158) позволяют получить значения коэффициентов корреляции флуктуаций уровня и фазы при разнесении поперек трассы. При малых D кривая коэффициента корреляции флуктуаций уровня несколько отличается от совпадающих кривых, относящихся к фазе и показателю преломления. Однако интервалы корреляции всех кривых примерно одинаковы. При больших D интервал поперечной корреляции как уровня, так и фазы близок к интервалу поперечной корреляции вариаций показателя преломления в среде. Сравнение с данными по продольному разнесению (168) свидетельствует, что пространственная функция корреляции уровня и фазы поля волны при больших значениях волнового параметра анизотропны даже при изотропном характере флуктуаций показателя преломления.

Сильная турбулентность

В настоящее время интенсивно развивается теория распространения электромагнитных волн в средах с сильно развитой турбулентностью в применении к пучкам и длинным трассам. Выяснилось, что экспериментальные результаты, полученные на сравнительно длинных трассах, не находят теоретического объяснения в рамках метода плавных возмущений. Было показано, что приближение метода плавных возмущений эквивалентно модели распространения волн в виде случайных фазовых экранов без учета многократного рассеяния на турбулентных неоднородностях. Вызванное этим обстоятельством развитие теории привело к привлечению новых методов (диаграммной техники, теории переноса излучения и других. Среди них значительное внимание было уделено методу параболического уравнения (или марковскому приближению).

 

Ма́рковский проце́сс — случайный процесс, эволюция которого после любого заданного значения временно́го параметра tt {\displaystyle t} не зависит от эволюции, предшествовавшей tt {\displaystyle t}, при условии, что значение процесса в этот момент фиксировано («будущее» процесса не зависит от «прошлого» при известном «настоящем»; другая трактовка (Вентцель): «будущее» процесса зависит от «прошлого» лишь через «настоящее»).

Связь между нормальными и марковскими процессами состоит в том, что они частично пересекаются.

 

Ограничимся краткими сведениями об основных результатах анализа распространения пучков на длинных трассах. В основу вычислений положим волновое уравнение для среды с переменным показателем преломления , случайно меняющимся в пространстве и времени:

. (169)

Здесь

Представим электрическое поле пучка волн, распространяющихся вдоль оси х, в виде:

. (170)

Подставляя это выражение в волновое уравнение (169), пренебрежем членом .

Воспользуемся приближенным равенством .

Тогда

. (171)

Это уравнение носит название параболического приближения и описывает распространение пучков в условиях малой угловой расходимости (поскольку мы пренебрегли величиной по сравнению с и другими членами). Условия применимости этого приближения известны и могут быть записаны в виде неравенств:

(172)

В эти выражения входят значения так называемых внутреннего и внешнего размеров неоднородностей и структурной характеристики флуктуаций, характеризующей интенсивность турбулентных возмущений показателя преломления на трассе. Первое из них налагает требование узконаправленности диаграммы рассеяния неоднородностей в направлении распространения. Второе означает пренебрежимо малый уровень рассеяния мощности поля на расстояниях порядка длины волны. Для типичных значений параметров трасс и турбулентности эти условия выполняются в оптическом диапазоне для трасс длиной в сотни километров.

От полученного уравнения можно перейти к уравнениям для моментов случайной величины Е разных порядков. Метод такого перехода основан на предположении о дельта-коррелированности флуктуаций показателя преломления в направлении распространения. Иными словами, в этом случае неоднородности показателя преломления представляются дисками, ориентированными перпендикулярно направлению распространения. При таком подходе к дальнейшему развитию теории достаточно просто получить ряд полезных отношений.

Выразим аналитически дельта-коррелированность флуктуаций величины n:

(173)

Здесь – пространственный спектр флуктуаций показателя преломления, - волновой вектор, - вектор в плоскости .

 

 

Функциона́л — это отображение, заданное на произвольном множестве и имеющее числовую область значений: обычно множество вещественных чисел R {\displaystyle \mathbb {R} } или комплексных чисел C {\displaystyle \mathbb {C} }. Область определения функционала может быть любым множеством.

Справка по вариационной производной:

Функционал записывается в виде:

Это прямой аналог дифференциала функции конечномерного аргумента ().

Производная Фреше, – аналог одномерного градиента, - называется вариационной производной:

Здесь - градиент функции y;

выражение в круглых скобках – скалярное произведение;

- оператор частной производной по –ой координате.

Сумма представляет собой полный дифференциал.

Если представить

,

можно записать

.

- вариационная производная Ф по , то есть .

 

 

Далее воспользуемся соотношением, выражающим корреляцию между нормально распределенной случайной величиной и произвольным функционалом от нее в такой форме:

, (174)

где через обозначена вариационная производная.

Принимая эти соотношения, мы тем самым приписываем случайной величине гауссово распределение.

Возьмем теперь в качестве функционала поле . Усредним уравнение (171) и подставим вместо выражение, полученное при помощи соотношения (174). Используя дельта-коррелированность флуктуаций показателя преломления, после вычислений найдем:

. (175)

Это уравнение разрешимо относительно первого момента случайного поля :

, (176)

где - поле в плоскости х =0, а подынтегральное выражение в экспоненте представляет величину, входящую в правую часть выражения (173):

. (177)

Принимая, что - величина, определенная в предположении колмогоровского спектра неоднородностей,

(178)

 

находим интеграл от в следующей форме:

(179)

Для случая плоской волны, то есть при , из выражений (176) и (178) получаем:

(180)

Подобная процедура может быть применена и для вычисления других моментов поля. Так, для вывода уравнения, которому удовлетворяет второй момент поля, нужно уравнение (171) умножить на , а в качестве функционала взять произведение , что позволяет найти величину .

Запишем второй момент флуктуаций поля . Уравнение, которому удовлетворит , тогда примет вид:

 

(181)

Решая это уравнение методом преобразования Фурье, находим:

. (182)

Здесь

. (183)

Полученная для формула описывает пространственную когерентность пучка. Если в ней положить , то перейдем к формуле для интенсивности как функции поперечных координат.

Чтобы рассчитать флуктуации интенсивности, а также ряд других эффектов, возникающих при распространении пучка, требуется получить уравнение для четвертого момента случайного поля:

(184)

С помощью аналитической процедуры находим соответствующее уравнение:

(185)

Для этого уравнения был найден ряд приближенных решен ий, относящихся как к флуктуациям интенсивности, так и к блужданиям пучка, усредняющему действию апертуры и другим эффектам.

Отметим, что описание сильных флуктуаций проводят на основе подхода, предполагающего вывод и решение уравнений для статистических моментов комплексной амплитуды поля (функций когерентности). Наибольший интерес представляют функции когерентности второго

(186)

и четвертого порядков:

. (187)

Через них выражается средняя интенсивность, степень когерентности, дисперсия флуктуаций интенсивности и коэффициент пространственной корреляции. Здесь комплексная амплитуда А характеризует электромагнитные колебания

, (188)

а - составляющая вектора r, лежащая в поперечной плоскости волны, распространяющейся вдоль оси z.

Использование малоуглового приближения, предполагающего рассеяние волны под малыми углами, позволяет заменить оператор на оператор Лапласа, действующий по поперечным координатам. Таким образом получаем исходное уравнение для нахождения функций когерентности. При этом неоднородности показателя преломления в направлении распространения представлены дисками, ориентированными перпендикулярно направлению распространения. Математически это предположение может быть представлено в виде:

. (189)

Здесь - функция корреляции флуктуаций показателя преломления, - функция корреляции флуктуаций показателя преломления в поперечной плоскости, - дельта-функция.

Физически такое представление основывается на том, что, в отличие от корреляции показателя преломления в поперечном направлении его продольная корреляция оказывает лишь малое влияние на флуктуационные характеристики поля. Как результат, корреляция амплитудных флуктуаций в продольном направлении оказывается в большинстве практических случаев существенно больше размеров неоднородностей.

Путем преобразований получаем

. (190)

Здесь

, (191)

и – соответственно волновое число и энергетический спектр неоднородностей.

Таким образом, функция когерентности экспоненциально убывает с увеличением расстояния z. Показатель экспоненты определяется структурной функцией комплексной фазы.

В условиях сильных флуктуаций дисперсия определяется согласно соотношению

, (192)

где степень возмущенности трассы оценивается как

, (193)

- структурная характеристика флуктуаций показателя преломления атмосферы.

Радиус корреляции флуктуаций по пятну в условиях сильных флуктуаций составляет

, (194)

то есть меньше радиуса первой зоны Френеля.

 

 

Лекция 25 октября 2016г.