Лучевое приближение (метод геометрической оптики)

В этом случае считаем

. (125)

Тогда волновое уравнение имеет решением следующую функцию:

, (126)

где - значение амплитудной функции при .

Это приближение, дающее решение в виде плоских волн, то есть оставляющее только лучевую трактовку распространения, естественно, не учитывает явления дифракции. Однако, в случаях, когда оптическая длина пути велика, дифракционный эффект значителен и пренебрежение членом в (124) недопустимо.

Метод малых возмущений (борновское приближение)

Если состояние среды таково, что неоднородности вносят малые возмущения в величину A, то приближенное решение волнового уравнения (124) можно получить методом последовательных приближений:

откуда получим

. (127)

 

В этом разложении каждое слагаемое имеет порядок малости .

Если последующие слагаемые малы по сравнению с предыдущими , конечное число членов ряда будет достаточным для описания поля волны. К сожалению, такая ситуация имеет место не во всех случаях, члены ряда могут возрастать. Физически это связано с увеличением

относительного вклада членов ряда, ответственных за многократное рассеяние.

Нулевой член ряда описывает падающую на среду (или невозмущенную) волну, слагаемое первого порядка – однократно рассеянное поле, второго порядка – двукратно рассеянное и т. д. Многократное рассеяние, как правило, становится существенным при возрастании интенсивности флуктуаций показателя преломления либо за счет возрастания , либо из-за увеличения пути, проходимого излучением в среде. В результате интегральное изменение показателя преломления вдоль трассы существенно возрастает. Рассмотрим задачу в приближении однократного рассеяния.

В первом приближении, называемом борновским,

(128)

Подставляя это значение в исходное волновое уравнение, получаем:

, (129)

(130)

Чтобы найти , нужно решить линейное неоднородное уравнение второго порядка (130). Для этого вводят новую функцию координат :

. (131)

Определяя из этого выражения и подставляя их в уравнение (130), получим, положив для случая падения плоской волны на плоскую границу среды , следующее уравнение:

. (132)

Решение этого уравнения известно:

, (133)

где и - координаты точки наблюдения и источника вторичных волн, .

Записав , получаем:

. (134)

 

Равенство (134) показывает, что поле рассеянной волны, наблюдаемое в точке r, обусловлено сферической волной, излучаемой из точки r ’, а именно . Амплитуда сферической волны пропорциональна произведению локального значения флуктуирующей части показателя преломления и напряженности поля падающего излучения. А фаза определяется общим числом длин волн, укладывающихся на пути от источника до рассеивателя и далее до приемника. Вклады всех точек , находящихся в объеме рассеяния , суммируются.

Согласно (128), имеем:

. (135)

Для малых углов рассеяния, то есть малых отклонений координат от оси z, величину q можно разложить в ряд:

, (136)

где векторы и располагаются в поперечной плоскости, а их разность означает разность поперечных координат.

Тогда из (135) получаем:

(137)

Интересная особенность формулы (137) заключается в том, что она содержит информацию о положении и форме интерференционных полос (пятен) на расстоянии z в плоскости наблюдения. Эти полосы возникают за счет взаимодействия падающей плоской волны с рассеянной сферической волной, переизлученной из точки . Именно это приводит к флуктуациям амплитуды и фазы, наблюдаемым при распространении излучения, в частности, оптического, в атмосфере.

На практике часто существенно отличается от . Следовательно, предположение о малости возмущений в таких случаях необоснованно. В применении к атмосфере предположение о малых возмущениях эквивалентно предположению о среде с мелкомасштабными неоднородностями, или ka <<1, где а – средний размер неоднородностей.

Для сантиметровых и более коротких волн представляет интерес решение этого уравнения для случая крупных неоднородностей.

Метод Рытова (метод плавных возмущений, МПВ)

Вспомним, что напряженность электрического поля для однородной среды из уравнения (120) запишется в виде:

.

В случае неоднородной среды с диэлектрической проницаемостью, являющейся функцией координат, решением будет аналогичная функция, но с амплитудой и фазой, зависящими от координат в виде:

.

Не рассматривая изменения неоднородностей во времени, т.е. полагая, как и прежде, квазистатичность задачи, координатную часть компоненты поля можно описать при помощи приведенного волнового уравнения (уравнения Гельмгольца):

, (138)

где - случайная функция координат.

Для атмосферы .

Приведенное уравнение для U получено из исходного волнового уравнения (120) путем подстановки:

(139)

Метод решения этого уравнения, предложенный С.М.Рытовым, состоит в том, что координатная часть компоненты поля ищется в виде:

. (140)

Функция , называемая комплексной фазой, включает и собственно фазу, и величину, определяющую амплитуду, - так называемый уровень. Иногда используется представление

. (141)

Поскольку комплексна, оба подхода по сути являются эквивалентными.

Сравнивая эти два представления, находим:

(142)

или

, (143)

где представляет фазу .

Логарифм отношения амплитуд называется уровнем поля и характеризует относительную амплитуду поля. Введя таким образом функцию , мы можем применить метод малых возмущений к уравнению, написанному для этой функции.

Обозначим

. (144)

Подставляя это выражение в уравнение для (138), получим выражение, которое содержит только производные функции :

. (145)

Решая это уравнение методом малых возмущений, мы налагаем требование малости на , а не на саму функцию , то есть предполагаем плавность ее изменений.

Найдем уравнение для первого приближения (пренебрегая эффектами вторичного рассеяния):

. (146)

Величину определим из уравнения для при как решение в виде плоской волны:

. (147)

Подстановка (146) в уравнение для (145) дает:

Поскольку является решением уравнения для (145) при , то есть

получаем уравнение для функции :

(148)

Для плавных возмущений можно пренебречь членами порядка как квадратами малой величины. Из (147) следует

. (148)

Тогда

(149)

Рассматривая падение плоской волны на среду со случайными неоднородностями, находящимися в полупространстве , будем считать . Тогда получаем уравнение

(150)

совпадающее со (130) с точностью до мнимой единицы и знака правой части. Заметим, что пренебрежение членом по сравнению с может оказаться неправомерным. Поэтому возможность такого приближения нужно рассматривать в сочетании с объектом исследования. Если же оба члена и одного порядка, то пренебрежение ими сводит решение задачи к лучевому приближению (126).

Решение этого уравнения будем искать в виде:

,

где вспомогательная функция - медленно меняющаяся функция координат .

Подставляя соответствующие значения для параметров , получаем уравнение относительно :

или

. (151)

Решение неоднородного уравнения (151) по аналогии с решением уравнения (137) дает следующее выражение для :

. (152)

Оно позволит оценить характеристики флуктуаций.

Флуктуации уровня и фазы

Амплитудно-фазовые флуктуации в случайно-неоднородной среде принято описывать величиной , характеризующей отклонение фазы световых колебаний от фазы плоской однородной волны, и величиной , определяющей флуктуации уровня сигнала.

Следует отметить, что отличается от флуктуаций амплитуды , где A – средняя амплитуда. Величина χ отличается и от флуктуаций логарифма амплитуды . Однако при можно приближенно считать .

Выделим в выражении (152) действительную и мнимую части:

. (153)

Отсюда на основании (143) находим:

(154)

Эти формулы выражают флуктуации фазы и уровня в среде со случайными неоднородностями. Они справедливы приближенно при упомянутом выше условии:

 

 

.

Учитывая статистический характер флуктуаций показателя преломления , запишем это условие в виде:

(155)

Это неравенство эквивалентно соотношениям:

. (156)

Первое из этих соотношений справедливо, если рассеяние мало на расстояниях порядка длины волны, т.е. уровень сигнала на этих расстояниях сохраняется почти постоянным.

Второе неравенство (156) требует малости изменения угла отклонения луча от первоначального направления. Поскольку , получаем:

Аналогично,

Следовательно,

то есть все поперечные компоненты градиента фазы малы по сравнению с продольной составляющей. Иными словами, угол отклонения луча от первоначального направления мал.

Первое из условий (156) в реальных случаях земной атмосферы выполняется во всех случаях, когда флуктуации показателя преломления малы.

Второе условие осуществимо в тех случаях, когда размеры неоднородностей велики по сравнению с длиной волны, поскольку мелкомасштабные неоднородности создают изотропное рассеяние, а крупные переизлучают в пределах узкого конуса в направлении распространения. Угол раствора конуса пропорционален 1/ ka. При этом отклонение луча от первоначального направления будет малым, если амплитуда рассеянной волны значительно меньше амплитуды падающей волны.

Для волн оптического диапазона тропосферные неоднородности представляют неоднородности больших размеров. Это означает, что полученные выше результаты служат важной теоретической основой исследования вариаций поля оптической волны, распространяющейся в реальных условиях вблизи земной поверхности.

Учитывая малость углов отклонения от направления волны, падающей на

среду с неоднородностями, можно считать, что в формулах (154)

при .

Используя выражение для q (136), запишем:

,

Лекция 18 октября 2016 г.

 

Таким образом, получаем выражения для флуктуаций уровня и фазы в малоугловом приближении:

(157)

(158)

Эти формулы позволяют найти основные статистические параметры, характеризующие вариации уровня и фазы волны, распространяющейся в среде со случайными неоднородностями.

Пусть прием ведется в точке . Найдем средние квадраты случайных величин и :

(159)

 

Здесь

- коэффициент корреляции случайных изменений .

Как свидетельствуют соотношения (159), средние квадраты флуктуаций фазы и уровня определяются видом корреляционной функции флуктуаций показателя преломления. Последняя в свою очередь зависит от конкретных свойств среды распространения.

При практическом использовании результатов, полученных методом плавных возмущений, отметим, что с точки зрения сделанных при его обосновании допущений он применим лишь для малых флуктуаций уровня и

фазы. Однако рядом исследователей установлено, что указанные условия следует рассматривать как достаточные, но не необходимые. Было показано, что в части, относящейся к флуктуациям фазы, метод справедлив практически для любой наблюдаемой в эксперименте величины фазовых флуктуаций. Что же касается флуктуаций уровня, то метод дает заметные ошибки при Таким образом, метод плавных возмущений позволяет осуществлять оценки в весьма широком диапазоне амплитудно-фазовых флуктуаций.