Исследование усиления в электронных приборах в трехволновом приближении

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №1

Исследование усиления в электронных приборах в трехволновом приближении

Цель работы

Численно на ЭВМ решается характеристическое алгебраическое уравнение третьей степени с комплексными коэффициентами и находятся постоянные распространения связанных волн в трехволновом приближении. Определяется область усиления в зависимости от параметров электронного потока и резонансной замедляющей системы.

 

Теорема о сохранении кинетической мощности

Выражения для электромагнитной мощности, переносимой полем в замедляющей системе в направлении продольной оси, получается интегрированием вектора Умова-Пойнтинга в приближении малого сигнала по поперечному сечению пучка и структуры. Это выражение эквивалентно уравнению , которое представляет собой мощность, переносимую волнами замедляющей системы при отсутствии пучка. Знак минус показывает, что поток мощности обратной волны a _1– противоположен потоку мощности прямой волны a ₁₊. Мощность, переносимая каждой из этих волн сохраняется.

Кинетическая мощность, переносимая пучком при отсутствии замедляющей системы, определяется следующим соотношением , в то время как кинетическая мощность постоянной составляющей электронного пучка равна P ₀ = I ₀ V ₀.

Знак минус перед | a _2–|² имеет следующий физический смысл. Мощность, переносимая быстрой волной пространственного заряда, представляет собой положительную кинетическую мощность, а мощность, переносимая медленной волной – отрицательную кинетическую мощность. Это означает, что в среднем электронный пучок при возбуждении в нем быстрой волны содержит электроны с большей кинетической энергией по сравнению с невозбужденным пучком. Аналогично электронный поток, если в нем возбуждена медленная волна, в среднем содержит электроны с меньшей кинетической энергией по сравнению с невозбужденным пучком.

В случае приближения слабой связи, мощностью, обусловленной взаимной связью пучка с полем ЗС, можно пренебречь, тогда полная мощность связанной системы равна

 

P = P_л + P_П = 2 (| a ₁₊|² – | a _1–|² + | a ₂₊|² – | a _2–|²) (9)

 

Продифференцировав по z уравнение (8) и используя уравнения (3) для ЛБВ или уравнения (8), можно показать, что dP/dz = 0, т.е. полная мощность не изменяется вдоль линии. Равенство P = const представляет собой теорему о сохранении кинетической мощности в системе.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И ПРОЕКТИРОВАНИЕ МОЩНЫХ МИКРОВОЛНОВЫХ ЭЛЕКТРОННЫХ ПРИБОРОВ С ПРОДОЛЬНЫМ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕМ

Цель работы

Проводится математическое моделирование и проектирование мощных микроволновых электронных приборов с продольным взаимодействием на основе метода крупных частиц. Используется метод крупных частиц в приближении одномерной дисковой модели. Исследуются процессы группирования электронов при изменении параметров скоростной модуляции высокочастотного поля и пространственного заряда электронного пучка. Анализируются нелинейные процессы в мощных электронных приборах с продольным взаимодействием. Осуществляется моделирование и проектирование электронных приборов (ЭП) и определяются их оптимальные конструктивные параметры.

Возбуждение поля замедляющей системы электронным потоком

Вывод уравнения возбуждения

Для вывода уравнения возбуждения электромагнитного поля используем радиофизические аналогии. Представляем спиральную замедляющую систему в виде линии передачи, для которой известны телеграфные уравнения. Из теории длинных линий известно, что любую сложную замедляющую систему с положительной или отрицательной дисперсией волны основной пространственной гармоники можно описать цепочкой связанных многополюсников, сводимых к эквивалентным схемам. Следовательно, любую сложную замедляющую систему и адекватную ей эквивалентную схему можно привести к своему прототипу - фильтру нижних или верхних частот с положительной или отрицательной дисперсией.

Используем одночастотное приближение, то есть в приборах происходит усиление сигнала на частоте w. Считаем справедливым одномодовое приближение, то есть возбуждается основной тип волны. Эквивалентная схема линии с потерями состоит из последовательной индуктивности L, последовательного сопротивления R, обусловленного потерями в линии, параллельной емкости С и параллельной проводимости G, обусловленной потерями в диэлектрике. Указанные величины берутся из расчета на единицу длины. В общем случае для определения параметров эквивалентной схемы через геометрические размеры и диэлектрические свойства реальной линии необходимо решать уравнения Максвелла.

В дальнейшем будем пренебрегать потерями в линии. Запишем телеграфные уравнения для стандартной линии передачи, представляющей спиральную замедляющую систему с положительной дисперсией. Электронный поток возбуждает вихревое поле замедляющей системы, вследствие чего в структуре появляется наведенный ток (ток смещения), текущий от электронного пучка в замедляющую систему i_нав= i_см= . Уравнения длинной линии передачи с учетом электронного пучка имеют следующий вид:

(1)

где I_л и U_л - комплексные амплитуды тока и напряжения в линии передачи, i₁ - комплексная амплитуда первой гармоники тока пучка на частоте сигнала w.

Проведя несложные преобразования из уравнений (1) получаем дифференциальное уравнение второго порядка относительно напряжения в линии передачи:

(2)

где - постоянная распространения прямой бегущей волны в линии передачи; L и C - погонные индуктивность и емкость эквивалентной линии передачи, V_ф - фазовая скорость распространения прямой бегущей волны.

В дальнейшем предполагаем, что индуктивность и емкость линии передачи подобраны таким образом, что выполняется эквивалентность высокочастотного поля и напряжения в линии передачи, то есть выполняется следующее соотношение

(3)

Подставим соотношение (3) в уравнение (2) и, продифференцировав левую и правую части уравнения (2), получим следующее уравнение:

(4)

где параметр k - коэффициент связи, описывающий связь поля замедляющей системы с электронным пучком.

Предположим, что ток электронного потока изменяется по следующему закону: , тогда получаем выражение:

, (5)

где - постоянная распространения электронного пучка, V ₀ - постоянная составляющая скорости электронного пучка.

Используя соотношение (5), запишем уравнение (4) в виде уравнения возбуждения электромагнитного поля замедляющей системы электронным потоком:

. (6)

 

Расчет кулоновских сил.

Расчет сил пространственного заряда электронного пучка является наиболее сложной задачей нелинейной теории. Будем использовать приближение эквивалентного гладкого волновода, приближение узких зазоров для многорезонаторных клистронов, квазистатическое и квазипериодическое приближения в МКЧ.

В нелинейной теории ЭП применяются различные методы расчета поля пространственного заряда, из которых наиболее распространены следующие: метод функций Грина, метод преобразования Фурье и метод конечных разностей. Нами в данной работе будет использоваться метод функций Грина.

Продольная составляющая электрического поля E_z в правой части уравнения движения состоит из двух слагаемых - E_zл - поля замедляющей системы и E_zе - собственного поля электронного пучка (кулоновское поле или поле сил пространственного заряда). В квазистатическом приближении для определения собственного электрического поля необходимо решить уравнение Пуассона Dj = -r / e ₀ и найти потенциал j квазистатического электромагнитного поля, после чего определяется кулоновское поле E_ze=-grad j, где r - плотность заряда электронного пучка, e ₀ - диэлектрическая постоянная активной среды.

Из электродинамики известно решение уравнения Пуассона для эквивалентной гладкой трубы дрейфа, в которой движется электронный поток, выражаемое с помощью функции Грина. Поэтому мы сразу выпишем готовое решение для кулоновского поля

(23)

где f (z,z’) - это усредненная функция Грина (функция влияния), описывающая действие кулоновских сил со стороны диска в сечении z на диск в сечении z’, E_ze- усредненная напряженность электрического поля, действующая на сечение z’ со стороны всех других сечений пучка слева и справа.

Запишем аналитическое выражение для усредненной функции Грина, представляемой в виде экспоненциальной функции,

(24)

где r_п - радиус электронного пучка, , Dz=z-z’.

 

Перейдем во введенную нами ранее фазовую систему координат Лагранжа, тогда соотношение (24) для усредненной функции Грина в движущейся системе координат вместе с электронным потоком примет следующий вид:

(25)

где k=2/b_er_п - параметр убывания кулоновских сил с расстоянием, используемый в нелинейной теории, DФ=Ф-Ф’.

 

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №1

Исследование усиления в электронных приборах в трехволновом приближении

Цель работы

Численно на ЭВМ решается характеристическое алгебраическое уравнение третьей степени с комплексными коэффициентами и находятся постоянные распространения связанных волн в трехволновом приближении. Определяется область усиления в зависимости от параметров электронного потока и резонансной замедляющей системы.