Уравнение движения в координатах Эйлера и координатах Лагранжа.

При построении нелинейной теории ЭП с продольным взаимодействием и для использования МКЧ введем ряд приближений в теории:

- рассматриваем нерелятивистский случай и пренебрегаем собственным магнитным полем электронов;

- рассматриваем случай бесстолкновительных электронных пучков и считаем, что поток в целом нейтрален;

- используем квазистатическое приближение, т.е. пренебрегаем эффектами запаздывания и вместо решения уравнений Максвелла будем решать уравнение Пуассона для потенциала объемного заряда;

- считаем справедливым квазипериодическое приближение;

- будем использовать одномерное приближение и в аксиально- симметричном случае в роли крупных частиц будем использовать жесткие заряженные диски с конечными размерами.

Учитывая введенные приближения, уравнение электронного пучка в координатах Эйлера имеет следующий вид:

(19)

где e, m и - заряд, масса и скорость электронов пучка соответственно, E_z - усредненная по сечению пучка продольная составляющая электрического поля.

В подходе Эйлера электронный пучок представляется в виде сплошной заряженной жидкости и за движением сплошной среды происходит наблюдение в определенных точках физического пространства. Координаты точек наблюдения являются независимыми эйлеровыми координатами z, t.

В подходе Лагранжа происходит наблюдение за движением отдельных выбранных частиц и совокупность фазовых траекторий этих частиц дает полную информацию о процессе. Независимыми переменными в подходе Лагранжа являются номера частиц или их начальные фазовые координаты- z, t ₀. Время t становится зависимой переменной t=t (z, t ₀).

Запишем уравнение движения (19) в новых лагранжевых координатах:

(20)

где и -скорость и ускорение в координатах Лагранжа.

Более удобно в дальнейшем использовать фазовую систему координат Лагранжа, которая вводится следующими соотношениями:

y=eb_ez, Ф=wt-b_ez, (21)

где e - параметр малости, эквивалентный коэффициенту усиления C в теории ЛБВ, - постоянная распространения электронного пучка, V ₀- средняя скорость пучка.

Уравнение движения (20) в фазовой системе координат принимает следующий вид:

(22)

где - скорость в фазовой системе координат.

 

Расчет кулоновских сил.

Расчет сил пространственного заряда электронного пучка является наиболее сложной задачей нелинейной теории. Будем использовать приближение эквивалентного гладкого волновода, приближение узких зазоров для многорезонаторных клистронов, квазистатическое и квазипериодическое приближения в МКЧ.

В нелинейной теории ЭП применяются различные методы расчета поля пространственного заряда, из которых наиболее распространены следующие: метод функций Грина, метод преобразования Фурье и метод конечных разностей. Нами в данной работе будет использоваться метод функций Грина.

Продольная составляющая электрического поля E_z в правой части уравнения движения состоит из двух слагаемых - E_zл - поля замедляющей системы и E_zе - собственного поля электронного пучка (кулоновское поле или поле сил пространственного заряда). В квазистатическом приближении для определения собственного электрического поля необходимо решить уравнение Пуассона Dj = -r / e ₀ и найти потенциал j квазистатического электромагнитного поля, после чего определяется кулоновское поле E_ze=-grad j, где r - плотность заряда электронного пучка, e ₀ - диэлектрическая постоянная активной среды.

Из электродинамики известно решение уравнения Пуассона для эквивалентной гладкой трубы дрейфа, в которой движется электронный поток, выражаемое с помощью функции Грина. Поэтому мы сразу выпишем готовое решение для кулоновского поля

(23)

где f (z,z’) - это усредненная функция Грина (функция влияния), описывающая действие кулоновских сил со стороны диска в сечении z на диск в сечении z’, E_ze- усредненная напряженность электрического поля, действующая на сечение z’ со стороны всех других сечений пучка слева и справа.

Запишем аналитическое выражение для усредненной функции Грина, представляемой в виде экспоненциальной функции,

(24)

где r_п - радиус электронного пучка, , Dz=z-z’.

 

Перейдем во введенную нами ранее фазовую систему координат Лагранжа, тогда соотношение (24) для усредненной функции Грина в движущейся системе координат вместе с электронным потоком примет следующий вид:

(25)

где k=2/b_er_п - параметр убывания кулоновских сил с расстоянием, используемый в нелинейной теории, DФ=Ф-Ф’.