Дисперсия и ее свойства. Среднее квадратическое отклонение.

Во многих практически важных случаях существенным является вопрос о том, насколько велики отклонения случайной величины от ее математического ожидания.
Предварительно рассмотрим пример. Пусть две случайные величины и заданы следующими рядами распределения

Значения	-0,2	-0,1	0,1	0,2
Вероятности p(x)	0,25	0,25	0,25	0,25

Значения	-50	-40	40	50
Вероятности p(x)	0,25	0,25	0,25	0,25

Легко убедится в том, что математические ожидания этих величин одинаковы и равны нулю:

Однако разброс значений этих величин относительно их математического ожидания неодинаков. В первом случае значения, принимаемые случайной величиной , близки к ее математическому ожиданию, а во втором случае далеки от него. Для оценки разброса (рассеяния) значений случайной величины около ее математического ожидания вводится новая числовая характеристика - дисперсия.
Дисперсией случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математичекого ожидания *:

(43)

Пусть - дискретная случайная величина, принимающая значения x₁, x₂,..., x_n соответственно с вероятностями p₁, p₂,..., p_n. Очевидно, случайная величина принимает значения

с теми же вероятностями p₁, p₂,..., p_n. Следовательно, согласно определению математического ожидания дискретной случайной величины, имеем

(44)

Если же - случайная величина с плотностью распределения , то по определению

(45)

Принимая во внимание определение дисперсии и свойства математического ожидания, имеем

Так как и - постоянные, то используя свойства математического ожидания, получим

Следовательно,

Откуда окончательно находим

(46)

Рассмотрим теперь свойства дисперсии.

1°. Дисперсия постоянной равна нулю. (Доказательство)

2°. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат:

(47)

(Доказательство)

 

3°. Если и - независимые случайные величины, то дисперсия суммы этих величин равна сумме их дисперсий:

(48)

(Доказательство)

 

Средним квадратическим отклонением случайной величины называется корень квадратный из ее дисперсии:

(49)

Среднее квадратическое отклонение имеет ту же размерность, что и случайная величина .

Пример 1. Cлучайная величина - число очков, выпадающих при однократном бросании игральной кости (см. § 3, п.1, пример 1). Определить: математическое ожидание, дисперсию и средне квадратическое отклонение

Решение:

Используя формулы (39), (44) и (49) соответственно получим

 

Пример 2. Cлучайная величина - число наступления события A при одном испытании, причем P(A)=p (см. § 3, п.1, пример 2). Найти математическое ожидание и дисперсию.

Решение:

Величина принимает два значения 0 и 1 соответственно с вероятностями q=1-p и p. Поэтому по формулам (39) и (44) находим

Пример 3. Cлучайная величина m - число наступления события A в n независимых опытах, причем вероятность наступления события A в каждом опыте равна p. Найти M(m), D(m) и

Решение:

Пусть - случайная величина, принимающая значения 1 или 0 в зависимости от того, происходит или не происходит событие A в i -м опыте. Тогда . Ясно, что попарно независимы. Из результата примера 2 следует, что , для любого i. На основании свойства 3° для математического ожидания и дисперсии имеем

 

Пример 4. Пусть - случайная величина распределенная по закону Пуассона

[См. формулу (17)]. Найти:

Решение:

Используя соотношение (39), получим

Так как

 

Пример 5. Пусть - случайная величина, имеющая равномерное распределение с плотностью

[См. формулу (27)]. Найти математическое ожидание, дисперсию и средне квадратическое отклонение cлучайной величины.

Решение:

По формулам (40), (45) и (49) находим

 

Пусть - нормально распределенная случайная величина, с параметрами a и (см. § 3, п.5). Найдем и Так как

,то по формуле (40) находим

Проведем в интеграле замену переменной, полагая

тогда

Следовательно,

Но

[См. формулу (29)]. Далее, так как функция нечетная, то по свойству нечетных функций

Следовательно,

Дисперсию находим по формуле (45)

(вычисление интеграла не приводим).

Итак,

 

Таким образом, параметры a и для нормально распределенной случайной величины имеют простой вероятностный смысл: a есть математическое ожидание, - среднее квадратическое отклонение.

 

* Казалось бы естественным рассматривать не квадрат отклонения, а просто отклонение случайной величины от ее математического ожидания. Однако математическое ожидание этого отклонения равно нулю, так как

Здесь мы воспользовались тем, что постоянно, а математическое ожидание постоянной есть эта постоянная. Можно было бы принять за меру рассеяния математическое ожидание модуля отклонения случайной величины от ее математического ожидания: . Однако, как правило, действия связанные с абсолютными величинами, приводят к громоздким вычислениям.