Последовательные испытания. Формула Бернулли.

Предположим, что производится n независимых испытаний, в результате каждого из которых может наступить или не наступить некоторое событие A. Пусть при каждом испытании вероятность наступления события А равна P(A)=p и, следовательно, вероятность противоположного события (ненаступления А) равна . Определим вероятность Pn(m) того, что событие А произойдет m раз при n испытаниях. При этом заметим, что наступления или ненаступления события А могут чередоваться различным образом. Условимся записывать возможные результаты испытаний в виде комбинаций букв А и . Например, запись означает, что в четырех испытаниях событие осуществилось в 1-м и 4-м случаях и не осуществилось во 2-м и 3-м случаях.

Всякую комбинацию, в которую А входит m раз и входит n-m раз, назовем благоприятной. Количество благоприятных комбинаций равно количеству k способов, которыми можно выбрать m чисел из данных n; таким образом, оно равно числу сочетаний из n элементов по m, т.е.

Подсчитаем вероятности благоприятных комбинаций. Рассмотрим сначала случай, когда событие A происходит в первых m испытаниях и, следовательно, не происходит в остальных n-m испытаниях. Такая благоприятная комбинация имеет следующий вид:

Вероятность этой комбинации в силу независимости испытаний (на основании теоремы умножения вероятностей) составляет

 

Так как в любой другой благоприятной комбинации Вi событие A встречается также m раз, а событие происходит n-m раз, то вероятность каждой из таких комбинаций также равна . Итак

Все благоприятные комбинации являются, очевидно, несовместными. Поэтому (на основании аксиомы сложения вероятностей)

Следовательно,

(13)

 

или, так как

, то

 

(13')

 

Формула (13) называется формулой Бернулли *.

Пример 1. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,6. Какова вероятность того, что 8 выстрелов дадут 5 попаданий?

Решение: Здесь
n=8;
m=5;
p=0,6;
q=1-0,6=0,4.

Используя формулу (13'), имеем

 

Часто необходимо знать, при каком значении m вероятность принимает наибольшее значение, т. е. требуется найти наивероятнейшее число наступления события A в данной серии опытов. Можно доказать, что число должно удовлетворять двойному неравенству

(14)

Заметим, что сегмент [np-q;np+p], в котором лежит , имеет длину (np+p)-(np-q)=p+q=1. Поэтому, если какой-либо из его концов не является целым числом, то между этими концами лежит единственное целое число, и определено однозначно. В том случае, если оба конца — целые числа, имеются два наивероятнейших значения: np-q и np+p.

Пример 2. Определить наивероятнейшее число попаданий в цель в примере 1.

Решение: Здесь
n=8;
p=0,6;
q=0,4;
np-q=8*0,6-0,4=4,4;
np+p=8*0,6+0,6=5,4.

Согласно формуле (14) наивероятнейшее значение лежит на сегменте [4.4;5.4] и, следовательно равно 5.
При больших значениях n подсчет вероятностей Pn(m) по формуле (13) связан с громоздкими вычислениями. В этом случае удобнее пользоваться следующей формулой:

(15)

 

, где

(p не равно нулю и единице), a

 

Формула (15) выражает так называемую локальную теорему Лапласа **. Точность этой формулы повышается с возрастанием n.

Функция , как мы увидим в дальнейшем, играет очень большую роль в теории вероятностей. Ее значения при различных значениях аргумента приведены в Приложении (см. табл. I).

 

Таблица I.

Значения функции

 

х		х		х		х
0.00	0.3989	1.00	0.2420	2.00	0.0540	3.00	0.0044
0.05	0.3984	1.05	0.2299	2.05	0.0488	3.05	0.0038
0.10	0.3970	1.10	0.2179	2.10	0.0440	3.10	0.0033
0.15	0.3945	1.15	0.2059	2.15	0.0396	3.15	0.0028
0.20	0.3910	1.20	0.1942	2.20	0.0355	3.20	0.0024
0.25	0.3867	1.25	0.1826	2.25	0.0317	3.25	0.0020
0.30	0.3814	1.30	0.1714	2.30	0.0283	3.30	0.0017
0.35	0.3752	1.35	0.1604	2.35	0.0252	3.35	0.0015
0.40	0.3683	1.40	0.1497	2.40	0.0224	3.40	0.0012
0.45	0.3605	1.45	0.1394	2.45	0.0198	3.45	0.0010
0.50	0.3521	1.50	0.1295	1.50	0.0175	1.50	0.0009
0.55	0.3429	1.55	0.1200	2.55	0.0154	3.55	0.0007
0.60	0.3332	1.60	0.1109	2.60	0.0136	3.60	0.0006
0.65	0.3230	1.65	0.1023	2.65	0.0119	3.65	0.0005
0.70	0.3123	1.70	0.0940	2.70	0.0104	3.70	0.0004
0.75	0.3011	1.75	0.0863	2.75	0.0091	3.75	0.0003
0.80	0.2897	1.80	0.0790	2.80	0.0079	3.80	0.0002
0.85	0.2780	1.85	0.0721	2.85	0.0069	3.85	0.0002
0.90	0.2661	1.90	0.0656	2.90	0.0060	3.90	0.0002
0.95	0.2541	1.95	0.0596	2.95	0.0051	3.95	0.0002
						4.00	0.0001

 

 

Пример 3. Игральную кость бросают 80 раз. Определить вероятность того, что цифра 3 появится 20 раз.

Решение: Здесь
m=20;
n=80;
p=1/6;
q=1-1/6=5/6;

далее находим

Используя формулу (15), получим

так как из табл. I находим, что

 

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

Понятие случайной величины является основным в теории вероятностей и ее приложениях. Случайными величинами, например, являются число выпавших очков при однократном бросании игральной кости, число распавшихся атомов радия за данный промежуток времени, число вызовов на телефонной станции за некоторый промежуток времени, отклонение от номинала некоторого размера детали при правильно налаженном технологическом процессе и т. д.
Таким образом, случайной величиной называется переменная величина, которая в результате опыта может принимать то или иное числовое значение.
В дальнейшем мы рассмотрим два типа случайных величин — дискретные и непрерывные.