Двухфакторный дисперсионный анализ.

15.1. Двухфакторный дисперсионный анализ как метод анализа результатов эксперимента при изучении причинно-следственных отношений

 

Предположим, что решая рассмотренную выше задачу - выявление зависимости (независимости) успехов студентов от формы обучения, мы пришли к выводу о неполноте такой постановки задачи: к примеру, поняли, что эффективность формы обучения зависит от пола студента. Исходная матрица ячеек становится двумерной. Покажем, как она строится.

Пусть величина Y_ijk означает значение главного интересующего нас признака Y, вычисленное для i-го по счету (счет ведется внутри ячейки) объекта, помещенного в ячейку с номером (j, k), где j – отвечающее рассматриваемой ячейке значение первого фактора X¹ , а k – отвечающее той же ячейке значение второго фактора X² .

Будем рассматривать упрощенный случай, когда число объектов во всех ячейках одинаково и равно n (в приведенной ниже таблице n = 3). Фактор X¹ - значения 1, 2, …, J (в примере J=2), а фактор X² принимает значения 1, 2, …, K (в нашем примере K = 3).

 

 

Уровень фактора X^1	Уровень фактора X^2	Числ-ть Групп, отв-х уровням X^1	Cреднее арифметическое значение Y для фиксированного уровня фактора X^1
	Y111=2, Y211=3, Y311=4	Y112= 1 Y212=9 Y312=4	Y113=2 Y213= 4 Y313 =4	n 1·=nI=3·3=9
	Y121=5, Y221=6, Y321=4	Y122=3 Y222=4 Y322=4	Y123=8, Y223=9, Y323=7	n 2·=nI=3·3=9	·2· =5,6
Числ-ть Групп, отв-х уровням X^2	=nJ=3·2=6	n ·2=nJ= =3·2=6	n·3=nJ= =3·2=6	n··=n= 18
			·3= 5,6		··= 4,6

 

 

6.1. Модель двухфакторного дисперсионного анализа

 

Общая модель двухфакторного дисперсионного анализа имеет вид:

,

где

- - значение зависимого признака для конкретного респондента, помещенного в ячейку, отвечающую j – му уровню первого фактора и k – му уровню второго фактора (скажем, обучающемуся по второй форме юноши, тогда j=2, k=1), имеющему номер i в соответствующей ячейке;

- - вклад j-го уровня (нижний индекс) первого фактора (верхний индекс) X¹ в формирование значения Y (в нашем примере первый фактор – форма обучения; упомянутый вклад определяется тем, что студент обучался либо по первой форме обучения (j=1), либо по второй (j=2), либо по третьей (j=3));

- - вклад k-го уровня второго фактора X² в формирование значения Y (в нашем примере второй фактор – пол студента; соответствующий вклад определяется тем, является ли студент юношей или девушкой);

- - вклад, определяющийся взаимодействием i-го уровня первого фактора и j-го уровня второго;

- e_{I j k} – поправочный коэффициент (остаточный член), говорящий о различии между реальным значением Y-ка для рассматриваемого респондента и тем его значением, которое должно получиться для любого респондента, вошедшего в рассматриваемую ячейку (с номером (j,k)) в соответствии с нашей моделью.

Особое внимание стоит уделить понятию взаимодействия. Именно наличием этого элемента принципиально отличается двухфакторный дисперсионный анализ от однофакторного. Наличие взаимодействия двух признаков (в отношении некоторого зависимого признака Y) говорит о том, что вид связи первого признака с Y зависит от того, какое значение принимает второй признак. К примеру, по отдельности и форма обучения, и пол могут в среднем (статистически) не влиять на качество обучения, но, скажем, вторая форма обучения применительно к девушкам при этом может давать очень высокий положительный эффект. Другими словами, действие формы обучения зависит от того, для девушек или для юношей она используется. Когда в принципе уровень Y-ка зависит от сочетаний конкретных значений X¹ и X², говорят о наличии взаимодействия между рассматриваемыми факторами. Иногда в том же смысле говорят о синергетическом эффекте, вызванном сочетанием значений факторов. В том же смысле ведут речь о нелинейности воздействия факторов на зависимую переменную. Иногда взаимодействием называют само сочетание значений факторов, обусловливающее некий конкретный уровень Y-ка.[101]

 

Выборочные оценки всех формирующих модель составляющих вычисляются аналогично тому, как это делалось для однофакторного дисперсионного анализа.

 

Название элемента модели	Обозначение	Выборочная оценка
Общий средний уровень	m	···
Вклад j-го уровня фактора Х^1		·j· - ···
Вклад k-го уровня фактора X^2		··k - ···
Вклад, определяющийся взаимодействием i-го уровня фактора X^1 и j-го уровня фактора X^2;		·jk - ·j· - ··k + ···
Остаточный член	eI j k	Yijk- ·jk

 

Определенную сложность представляет лишь оценка взаимодействия. Зададимся вопросом о том, каким образом можно оценить наличие (или отсутствие) взаимодействия в конкретной ячейке с номером (j,k). Наличие некоего среднего уровня, совокупное воздействие j-го уровня фактора X¹ и k-го уровня фактора X² в отдельности вкупе с взаимодействием указанных уровней приводят к тому, что средний уровень успеваемости для объектов рассматриваемой ячейки оказывается равным _·jk. Он состоит из общего среднего уровня _···, вклада j-го уровня первого фактора ( _·j· - _···), вклада k-го уровня второго фактора ( _··k - _···) и вклада упомянутого взаимодействия. Как же получить оценку последнего. Естественно, путем «вытаскивания» из среднего уровня, типичного для рассматриваемой ячейки, названных вкладов. Другими словами, выборочная оценка взаимодействия равна

 

_·jk- ( _·j· - _···) - ( _··k - _···) = _·jk - _·j· - _··k + _···. (15.1)

 

Аналогичные рассуждения справедливы и для генеральной совокупности. Этим мы воспользуемся в следующем параграфе при обсуждении вида гипотез, проверяемых в двухфакторном дисперсионном анализе.

 

 

15.3. Двухфакторный дисперсионный анализ как проверка статистических гипотез

В двухфакторном дисперсионном анализе проверяются три статистические гипотезы. Первые две аналогичны гипотезе однофакторного анализа, это гипотезы:

H₀: m_·1· = m_·2· = … = m_·J· (15.2)

H₀: m_··1 = m_··2 = … = m_··K. (15.3)

 

При проверке первой гипотезы мы как бы забываем о втором факторе и рассматриваем J ячеек, на которые наша совокупность делится в соответствии со значениями первого фактора. При проверке второй гипотезы аналогичные рассуждения используем применительно ко второму фактору. Использующиеся критерии очень похожи на те, которые фигурируют в однофакторном дисперсионном анализе (отличие состоит в виде внутригрупповой дисперсии, что станет ясно из приведенных ниже формул).

Третья гипотеза говорит об отсутствии взаимодействий, или, что то же самое, о равенстве всех взаимодействий нулю. В соответствии с формулой (15.1), речь идет о проверке равенства нулю

выражений вида

m_·jk - m_·j· - m_··k + m_···.

Известно, что можно говорить о равенстве нулю всех чисел из некоторой совокупности, если сумма квадратов этих чисел равна нулю. Поэтому третья проверяемая в двухфакторном дисперсионном анализе гипотеза имеет вид:

H₀ : (m_·jk - m_·j· - m_··k + m_···)² = 0. (15.4)

Перейдем к обсуждению вида критериев, использующихся для проверки указанных трех гипотез.

Вместо межгрупповой суммы квадратов, обозначенной нами выше SS_b = SS_между, введем в рассмотрение три аналогичные суммы: SS₁, SS₂, SS₁₂, отвечающие, соответственно, гипотезам (15.2), (15.3), (15.4).

 

 

SS₁ = nK ( _·j· - _···)², SS₂ = nJ ( _··k - _···)², SS₁₂ = n ( _·jk - _·j· - _··k + _···)²

 

 

Внутригрупповая сумма квадратов SS_w = SS_внутри вычисляется одинаковым образом для всех трех гипотез:

 

SS_w = ( _IJk - _·JK)²

 

Каждой сумме квадратов отвечает свое число степеней свободы:

df ₁ = J-1; df ₂= K-1; df ₁₂ = (J-1)(K-1); df _w = JKn – JK;

 

 

Введем обозначения средних квадратов:

MS₁ = SS₁ / df ₁ ; MS₂ = SS₂ / df₂ ; MS₁₂ = SS₁₂ / df ₁₂ ; MS_w = SS_w/ df _w. Искомые статистики имеют вид:

 

; ; .

 

Логика проверки соответствующих гипотез – та же, к которой читатель, как мы надеемся, уже привык.

В заключение обсуждения вопроса о дисперсионном анализа отметим, что существуют такие его варианты, которые рассчитаны на порядковые данные (непараметрический дисперсионный анализ).

 

Примеры задач

1. Исcледователи решили выяснить, в какой мере крепость семьи связана с тем, одинаковы или нет национальности супругов, и каково количество детей в семье. Для ряда семей по определенной методике был рассчитан коэффициент прочности семьи (число от 1 до 10). Наблюдаемые данные были сведены в следующую таблицу (в клетках – коэффициенты прочности обследованных семей).

 

Сходство национальностей супругов	Количество детей в семье
		Больше одного
Национальность мужа и жены одинаковы	3,4,4,1	5,2,6,3	10,8,4,7
Национальности мужа и жены разные	3,4,4,4	6,7,2,4	7,7,7,7

Что можно сказать о влиянии названных факторов на крепость семьи?

Добавочная литература к главам 14 и 15 [102]

Основная

Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Высшая школа, 1998. С.349-362 (однофакторный дисперсионный анализ)

Горелова Г.В., Кацко И.А. Теория вероятностей и математическая статистика в примерах и задачах с применением Excel. Ростов-на-Дону: Феникс, 2005. С.207-239 (однофакторный, двухфакторный, трехфакторный дисперсионный анализ)

Калинина В.Н., Панкин В.Ф. Математическая статистика. М.: Высшая школа, 1998. С. 244-266 (однофакторный и двухфакторный дисперсионный анализ)

Колемаев В.А., Калинина В.Н. Теория вероятностей и математическая статистика, М.: Инфра-М,1997.С. 184-191; Юнити, 2003 (однофакторный и двухфакторный дисперсионный анализ)

Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2001. С.375-391 (однофакторный и двухфакторный дисперсионный анализ)

Дополнительная

Гусев А.Н. Дисперсионный анализ в экспериментальной психологии: Учебное пособие для студентов факультетов психологии ВУЗов по направлению 512000 – «Психология», М.: Учебно-методический коллектор «Психология», 2000

Крыштановский А.О. Анализ социологических данных с помощью пакета SPSS.М.:Издательский дом ГУ-ВШЭ, 2005. С. 109-114 (непараметрический дисперсионный анализ Краскэла – Уоллиса)

Сидоренко Е. Методы математической обработки в психологии. СПб: Речь, 2000. С. 224-260 (однофакторный и двух факторный дисперсионный анализ)

Статистические методы анализа социологической информации. М.: Наука, 1979. Гл. 11.

Girden E.R. ANOVA: Repeated measures // Sage University Paper series on Quantitative applications in the social sciences; Beverly Hills: SAGE Publications. V. 84.

 

 

СМ

1. Айвазян С.А., Мхитарян В.С. Прикладная статистика и основы эконометрики. Учебник для вузов. – М.: ЮНИТИ, 1998. С. 282-319.

2. Крыштановский А.О. Анализ социологических данных с помощью пакета SPSS. Издательский дом ГУ-ВШЭ. Москва, 2006.

3. Эддоус М., Стэнсфилд Р. Методы принятия решений/ Пер. с англ. Под ред. Член-корр. РАН И.И.Елисеевой. – М.: Аудит, ЮНИТИ, 1997.

4. Руководство пользователя SPSS 11.0.

5. Бююль А., Цефель П. SPSS: искусство обработки информации, анализ статистических данных и восстановление скрытых закономерностей. DiaSoft, 2002.

 

 

Приложение 1

Литература

Основная

Андропов А.М., Копытов Е.А., Гринглаз Л.Я. Теория вероятностей и математическая статистика. Учебник для вузов. С.-Пб: Питер, 2004

Бородин А.Н. Элементарный курс теории вероятностей и математической статистики. С.-Пб: Лань, 2004

Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Высшая школа, 1998

Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей математической статистике. М.: Высшая школа, 1998

Калинина В.Н., Панкин В.Ф. Математическая статистика. М.: Высшая школа, 1998

Колемаев В.А., Калинина В.Н. Теория вероятностей и математическая статистика, М.: Инфра-М,1997; Юнити, 2003

Кочетков Е.С., Смерчинская С.О., Соколов В.В. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Изд. дом «Форум», 2003

Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2001

Прикладная статистика. Основы эконометрики. Т.1: Айвазян С.А., Мхитарян В.С. Теория вероятностей и прикладная статистика. М.: Юнити-Дана, 2001

Теория статистики с основами теории вероятностей / Под ред. И.И.Елисеевой. М.: Юнити, 2001

Тюрин Ю.Н., Макаров А.А. Анализ данных на компьютере. М.: ИНФРА-М, 2003

Шведов А.С. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Изд. дом ГУ-ВШЭ, 2005