Направленные и ненаправленные альтернативные гипотезы. Односторонние и двусторонние критерии

 

Теперь, когда мы познакомились с техникой проверки некоторых математико-статистических гипотез, имеет смысл коснуться очень важного момента, обусловливающего способ поиска табличного значения используемого критерия. Сделаем это прежде, чем переходить к рассмотрению других гипотез, поскольку при таком рассмотрении соответствующие положения имеет смысл активно использовать.

 

9.1. Направленные и ненаправленные альтернативные гипотезы.

Наряду с каждой сформулированной выше нуль-гипотезой исследователь обычно формулирует и т.н. альтернативную гипотезу Н₁ – то утверждение, которое он будет считать верным при отказе от H₀. При рассмотрении некоторых гипотез формулировка H₁ очевидна и говорить об альтернативной гипотезе не стоит. Это касается, например, той гипотезы об отсутствии связи, которую мы проверяли с помощью критерия “Хи-квадрат”. Ей противостоит единственно возможная альтернативная гипотеза, утверждающая, что связь между переменными имеется. Подобная альтернативная гипотеза называется ненаправленной.

Однако не такова ситуация, возникающая при проверке статистической гипотезы о равенстве математических ожиданий. Гипотезе

Н₀: m ₁ = m₂

противостоят два альтернативных утверждения:

Н₁: m ₁ ¹ m₂.

и

Н₁: m ₁ > m₂ (или Н₁: m ₂ > m₁)

В первом случае альтернативная гипотеза называется ненаправленной, а во втором – направленной. В первом случае мы полагаем, что при неравенстве математических ожиданий одинаково возможны и такая ситуация, когда первое среднее больше второго, и такая, когда второе среднее больше первого. Во втором случае (когда гипотеза - направленная) считаем, что что только первое среднее может быть больше второго. Подобное предположение может объясняться либо чисто содержательными соображениями, когда вторая ситуация, не отраженная в нашей альтернативной гипотезе (второе среднее больше первого), просто не может возникнуть; либо тем, что вторая ситуация нас просто не интересует (например, нас может интересовать, имеется ли в какой-то отрасли промышленности дискриминация женщин по оплате; тогда мы будем проверять гипотезу о равенстве средних зарплат мужчин и женщин, ориентируясь на оценку вероятности того, что зарплата мужчин выше зарплаты женщин; ситуация же, когда средняя зарплата женщин выше средней зарплаты мужчин нас будет «волновать» ровно в той же мере, что и ситуация, когда указанные зарплаты равны).

За каждым видом выбранной альтернативы часто стоит свое понимание ситуации проверки гипотезы.

9.2. Односторонние и двусторонние критерии

 

Предположим, что мы проверяем гипотезу Н₀: m ₁ = m₂ и альтернативной гипотезой является гипотеза Н₁: m ₁ ¹ m₂. Выбор альтернативной гипотезы означает следующее. При анализе описанной выше мысленной конструкции с бесконечным количеством пар выборок у нас могут встречаться и такие пары, для которых наш критерий (неважно, какой – (8.1), (8.2), (8.5) или (8.6)) положителен (т.е.первая средняя больше второй), и такие, для которых критерий отрицателен (вторая средняя больше первой). Соответственно, оценивая вероятность попадания конкретного выборочного значения критерия в тот или иной интервал, мы должны учитывать, что маловероятными областями являются не только правый конец оси, но и левый. Значит, маловероятная критериальная область, попадание в которую приведет нас к решению об отвержении гипотезы, распадется на две части. Уровень значимости a должен будет отвечать двум концам нормального распределения (этой величине должна быть равна сумма площадей и под правым, и под левым его концом). В таблицах же, как правило, указывается только такое табличное значение, которое отвечает правому концу. Чтобы это учесть, надо будет искать z_крит, отвечающее величине a/2. И если наше z_выб окажется отрицательным, то мы будем его сравнивать со значением (- z_крит). Другими словами, мы будем принимать проверяемую гипотезу, если

и отвергать ее, если > z_крит .

Совершенно аналогичные рассуждения справедливы и для того случая, когда используемый критерий имеет распределение Стьюдента. Соответствующие статистики тоже могут быть положительными и отрицательными, а распределение очень похоже на нормальное – тоже представляет собой симметричный «колокол».

При распределении F рассуждение несколько меняется. Соответствующие критерии всегда положительны (как мы увидим ниже, они «строятся» из дисперсий – статистик, не могущих принимать отрицательные значения). Тем не менее, они могут быть двусторонними. По таблице мы ищем F_крит для правого конца распределения. Отвечать оно должно, как и выше, величине a/2. А табличное значение для левого конца будет равно (1/ F_крит). И проверяемая гипотеза принимается, если

 

£F_выб£ F_крит,

 

и отвергается, если F_выб > F_крит или F_выб <

 

 

Для критерия «Хи-квадрат» (и для других статистик, имеющих распределение c²) альтернативная гипотеза не направлена, но критерий всегда односторонен. Как мы увидим ниже, не так обстоит дело с другим показателем связи - коэффициентом корреляции, поскольку он, как известно, может быть и положительным, и отрицательным. Соответствующий критерий (а речь пойдет о распределении Стьюдента) может и односторонним, и двусторонним.

 

ТЕМА 10