Двухфакторный дисперсионный анализ при перекрестной

Классификации факторов

Часто необходимо качественно оценить значимость или незначимость влияния на целевую функцию u двух одновременно действующих факторов x₁ и x_2. Такими факторами могут быть, например, форма собственности предприятия x₁ и вид экономической деятельности x₂.

Модель двухфакторного дисперсионного анализа имеет вид [1-4]:

 

 

где - общее среднее, -отклонение от общего среднего для фактора x1, - отклонение от общего среднего для фактора x2, - отклонение от общего среднего для взаимодействия двух факторов, - случайная составляющая.

В этом случае общую сумму квадратов отклонений Q₀ можно разбить на четыре суммы:

1) Q_x1-по фактору x₁,

2) Q_x2-по фактору x₂,

3) Q_e-остаточную сумму квадратов, зависящую от ошибки e,

4) Q _x1x2-зависящую от взаимодействия (произведения) x₁x₂ двух факторов.

 

В этом случае по выборочным значениям вычисляются:

1) среднее для каждого уровня фактора x₁:

;

2) среднее для каждого уровня фактора x₂:

;

3) общее среднее по всем N опытам, т.е. по всем m параллельным опытам на всех сочетаниях уровней факторов x₁ и x₂ ():

;

4) среднее по m параллельным опытам для каждого сочетания уровней факторов x₁ и x₂:

.

В табл.2 показаны данные полного факторного эксперимента с одинаковым числом наблюдений в ячейках.

 

 

Таблица 3. - Данные эксперимента и расчёты средних при двухфакторном дисперсионном анализе

 

j =			…
i =	k			…
…		…
m
. . .
…
m
…
m

 

В табл.2 вычисляется по выделенной части столбца, содержащей m параллельных опытов.

Общая сумма квадратов отклонений Q₀ рассчитывается по формуле:

Эту сумму можно разложить на 4 составляющие:

1) сумму, характеризующую влияние фактора x₁:

;

2) сумму, характеризующую влияние фактора x₂:

;

 

3) сумму, характеризующую результат влияния взаимодействия x₁x_2:

4) сумму, характеризующую влияние ошибки e:

Указанные пять сумм, поделенные на соответствующее число степеней свободы, дают пять различных оценок дисперсии, если влияние факторов x₁ и x₂ незначимо. Для проведения дисперсионного анализа вычисляются следующие дисперсии:

1) оценка дисперсии относительно общего среднего :

,

где -общее число наблюдений, а число степеней свободы

;

2) оценка дисперсии «между строками», определяемыми уровнями x_1j:

,

где - число степеней свободы.

3) оценка дисперсии «между столбцами», соответствующими уровням фактора x₂:

,

 

где - число степеней свободы;

4) оценка дисперсии «между сериями» по m параллельным опытам каждая

с числом степеней свободы ;

5) оценка дисперсии «внутри серий» по m параллельным опытам, вычисляемая как средняя оценка по всем u₁u₂ сериям:

с числом степеней свободы .

Числа степеней свободы должны удовлетворять соотношению

Статистическое оценивание значимости влияния факторов x_1, x₂ и взаимодействия x₁x₂ выполняются по F-критерию Фишера, для чего формируются следующие F-отношения:

, , .

Фактор x₁ или x₂, или взаимодействие x₁x₂ признаются незначимым, если соответствующее F-отношение оказывается меньше критического, выбранного из таблиц для принятого уровня значимости и числа степеней свободы сравниваемых дисперсий.

Для того, чтобы сделать вывод о том, влияют ли на исследуемые показатели качественные факторы, выдвигают следующие гипотезы:

H₀: , т.е средние значения по всем столбцам равны фактор столбца не оказывает влияния на исследуемый показатель.

H₁: ,, т.е средние значения по всем столбцам не равны фактор столбца оказывает существенное влияние на исследуемый показатель.

 

H₀: , т.е средние значения по всем строкам равны фактор строки не оказывает влияния на исследуемый показатель.

H₁: ,, т.е средние значения по всем строкам не равны фактор строки оказывает существенное влияние на исследуемый показатель.

 

 

H₀: , т.е отклонение взаимодействия факторов равно нулю и взаимодействие не значимо..

H₁: , фактор взаимодействия значим..

 

Если , то принимается нулевая гипотеза при соответствующем уровне значимости о том, что исследуемый фактор не оказывает существенного влияния на количественные данные.

Если , то нулевая гипотеза отвергается и принимается альтернативная при соответствующем уровне значимости. Исходя из этого, можно сделать вывод о том, что исследуемый фактор оказывает существенное влияние на количественные данные.

 

 

Результаты двухфакторного дисперсионного анализа представляются в виде табл.3.

 

Таблица 3. - Двухфакторный дисперсионный анализ при равном числе наблюдений в ячейках

 

Вид изменчивости	Сумма квадратов отклонений	Число степеней свободы	Оценка дисперсии	F – отношение
От фактора x1
От фактора x2
От взаимо-действия x1x2
Остаточная (от e)
Общая

 

m – число данных в строке (число повторов в ячейке), - число столбцов, - число строк.