Основные теоремы о пределах.

Основные теоремы о пределах.

. Теорема 2. Если функцииf(x) и g(x) имеют пределы в точке , то:

1) предел алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме пределов слагаемых, т.е.

(2)

2) предел произведения функций равен произведению пределов сомножителей, т.е.

(3)

3) предел частного двух функций равен частному от деления предела делимого на предел делителя, если предел делителя не равен нулю, т.е.

(4)

Замечание. Формулы (2) и (3) справедливы для любого конечного числа функций.

Следствие 1. Предел постоянной равен самой постоянной, т.е.

Следствие 2. Постоянный множитель можно выносить за знак предела, т.е.

Теорема 3 (о пределе сложной функции). Если существует конечный предел

а функция f(u) непрерывна в точке , то

Другими словами, для непрерывных функций символы предела и функции можно поменять местами.

33. Первый замечательный предел (с выводом).

Первый замечательный предел: Главное, что Х стремится к 0.

 

Следствия

§

§

§

§

§ Из первого замечательного предела следует эквивалентность при х →0 следующих бесконечно малых величин: ах, sin ax; tg ax; arcsin ax; arctg ax. Это означает, что предел отношения двух любых из этих функций при х →0 равен 1.

§ С помощью этого соотношения можно вычислить массу других неопределенностей, которые без применения первого замечательного предела вычислялись бы сложнее.

 

34. Второй замечательный предел.

Определение и геометрический смысл производной.

Произво́дная — произведённая, образованная от другой, простейшей или основной величины, формы, категории.

Произво́дная — функция, являющаяся результатом применения той или иной операции дифференцирования к исходной функции.

Геометрический смысл производной. Производная в точке x ₀ равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f (x) в этой точке.

 

Интервалы выпуклости и вогнутости, точки перегиба.

График функции y = f(x) называется выпуклым на интервале (a; b), если он расположен ниже любой своей касательной на этом интервале.

График функции y = f(x) называется вогнутым на интервале (a; b), если он расположен выше любой своей касательной на этом интервале.

Теорема. Пусть y = f(x) дифференцируема на (a; b). Если во всех точках интервала (a; b) вторая производная функции y = f(x) отрицательная, т.е. f ''(x) < 0, то график функции на этом интервале выпуклый, если же f ''(x) > 0 – вогнутый.

Теорема. Пусть кривая определяется уравнением y = f(x). Если f ''(x ₀) = 0 или f ''(x ₀) не существует и при переходе через значение x = x₀ производная f ''(x) меняет знак, то точка графика функции с абсциссой x = x₀ есть точка перегиба.

Асимптоты.

Прямая называется асимптотой графика функции y = f(x), если расстояние от переменной точки M графика до этой прямой при удалении точки M в бесконечность стремится к нулю, т.е. точка графика функции при своем стремлении в бесконечность должна неограниченно приближаться к асимптоте.

вертикальной асимптотой графика функции y = f(x) называется прямая, если f(x) → ∞ хотя бы при одном из условий x → x₀ – 0 или x → x₀ + 0, x = x₀

Следовательно, для отыскания вертикальных асимптот графика функции y = f(x) нужно найти те значения x = x₀, при которых функция обращается в бесконечность (терпит бесконечный разрыв). Тогда вертикальная асимптота имеет уравнение x = x₀.

Теорема. Прямая y = kx + b служит наклонной асимптотой при x → +∞ для графика функции y = f(x) тогда и только тогда, когда . Аналогичное утверждение верно и при x → –∞.

54.Формула Тейлора:

(R_n(x) - остаточный член формулы Тейлора).

Многочлен Тейлора порядка n:

Остаточный член формулы Тейлора

В форме Лагранжа:

В форме Коши:

В форме Пеано:

при

В интегральной форме:

55. Формула Тейлора для любой функции, разложение функций e^x, sinx.

Основные разложения в ряд Тейлора

56. Функции многих переменных: способы задания, область определения, непрерывность и разрывы.

 

1. Обозначим через D некоторое множество точек в п -мерном пространстве.

Если задан закон f, в силу которого каждой точке М (х;...; х) D ставится в соответствие число и, то говорят, что на множестве D определена функция и = f (х;...; х).

Множество точек М (х;...; х), для которых функция и = f (х;...; х) определена, называют областью определения этой функции и обозначают D (f).

Функции многих переменных можно обозначать одним символом и = f (М), указывая размерность пространства, которому принадлежит точка М.

Функции двух переменных можно изобразить графически в виде некоторой поверхности.

Графиком функции двух переменных z=f (х; у) в прямоугольной системе координат Оху называется геометрическое место точек в трехмерном пространстве, координаты которых (х; у; z) удовлетворяют уравнению z=f (х; у).

Функция и = f (М) называется непрерывной в точке М, если

= f (М).

Функция и = f (М) называется непрерывной на множестве D, если она непрерывна в каждой точке МD.

Точки, в которых непрерывность функции нарушается, называются точками разрыва функция. Точки разрыва могут быть изолированными, создавать линии разрыва, поверхности разрыва и т. д.Например, функция z= имеет разрыв в точке (0;0), а функция z= имеет разрыв на параболе

Метод наименьших квадратов.

Такая модель в общем виде может быть представлена уравнением (1.2):

y_t = a₀ + a₁ х_1t +...+ a_n х_nt + ε_t.

Исходными данными при оценке параметров a₀ , a₁ ,..., a_n является вектор значений зависимой переменной y = (y₁, y₂,..., y_T)' и матрица значений независимых переменных

в которой первый столбец, состоящий из единиц, соответствует коэффициенту модели .

Название свое метод наименьших квадратов получил, исходя из основного принципа, которому должны удовлетворять полученные на его основе оценки параметров: сумма квадратов ошибки модели должна быть минимальной.