Основные теоремы о пределах.

↑

▷ Содержание

Стр 1 из 5Следующая ⇒

▷ Похожие статьи

Основные теоремы о пределах.

. Теорема 2. Если функцииf(x) и g(x) имеют пределы в точке , то:

Первый замечательный предел: Главное, что Х стремится к 0.

Следствия

§

§

§

§

§ Из первого замечательного предела следует эквивалентность при х →0 следующих бесконечно малых величин: ах, sin ax; tg ax; arcsin ax; arctg ax. Это означает, что предел отношения двух любых из этих функций при х →0 равен 1.

§ С помощью этого соотношения можно вычислить массу других неопределенностей, которые без применения первого замечательного предела вычислялись бы сложнее.

34. Второй замечательный предел.

Определение и геометрический смысл производной.

Произво́дная — произведённая, образованная от другой, простейшей или основной величины, формы, категории.

Произво́дная — функция, являющаяся результатом применения той или иной операции дифференцирования к исходной функции.

Геометрический смысл производной. Производная в точке x ₀ равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f (x) в этой точке.

Интервалы выпуклости и вогнутости, точки перегиба.

График функции y = f(x) называется выпуклым на интервале (a; b), если он расположен ниже любой своей касательной на этом интервале.

График функции y = f(x) называется вогнутым на интервале (a; b), если он расположен выше любой своей касательной на этом интервале.

Теорема. Пусть y = f(x) дифференцируема на (a; b). Если во всех точках интервала (a; b) вторая производная функции y = f(x) отрицательная, т.е. f ''(x) < 0, то график функции на этом интервале выпуклый, если же f ''(x) > 0 – вогнутый.

Теорема. Пусть кривая определяется уравнением y = f(x). Если f ''(x ₀) = 0 или f ''(x ₀) не существует и при переходе через значение x = x₀ производная f ''(x) меняет знак, то точка графика функции с абсциссой x = x₀ есть точка перегиба.

Асимптоты.

Прямая называется асимптотой графика функции y = f(x), если расстояние от переменной точки M графика до этой прямой при удалении точки M в бесконечность стремится к нулю, т.е. точка графика функции при своем стремлении в бесконечность должна неограниченно приближаться к асимптоте.

вертикальной асимптотой графика функции y = f(x) называется прямая, если f(x) → ∞ хотя бы при одном из условий x → x₀ – 0 или x → x₀ + 0, x = x₀

Следовательно, для отыскания вертикальных асимптот графика функции y = f(x) нужно найти те значения x = x₀, при которых функция обращается в бесконечность (терпит бесконечный разрыв). Тогда вертикальная асимптота имеет уравнение x = x₀.

Теорема. Прямая y = kx + b служит наклонной асимптотой при x → +∞ для графика функции y = f(x) тогда и только тогда, когда . Аналогичное утверждение верно и при x → –∞.

54.Формула Тейлора:

(R_n(x) - остаточный член формулы Тейлора).

Многочлен Тейлора порядка n:

Остаточный член формулы Тейлора

В форме Лагранжа:

В форме Коши:

В форме Пеано:

при

В интегральной форме:

55. Формула Тейлора для любой функции, разложение функций e^x, sinx.

Основные разложения в ряд Тейлора

56. Функции многих переменных: способы задания, область определения, непрерывность и разрывы.

1. Обозначим через D некоторое множество точек в п -мерном пространстве.

Если задан закон f, в силу которого каждой точке М (х;...; х) D ставится в соответствие число и, то говорят, что на множестве D определена функция и = f (х;...; х).

Множество точек М (х;...; х), для которых функция и = f (х;...; х) определена, называют областью определения этой функции и обозначают D (f).

Функции многих переменных можно обозначать одним символом и = f (М), указывая размерность пространства, которому принадлежит точка М.

Функции двух переменных можно изобразить графически в виде некоторой поверхности.

Графиком функции двух переменных z=f (х; у) в прямоугольной системе координат Оху называется геометрическое место точек в трехмерном пространстве, координаты которых (х; у; z) удовлетворяют уравнению z=f (х; у).

Функция и = f (М) называется непрерывной в точке М, если

= f (М).

Функция и = f (М) называется непрерывной на множестве D, если она непрерывна в каждой точке МD.

Точки, в которых непрерывность функции нарушается, называются точками разрыва функция. Точки разрыва могут быть изолированными, создавать линии разрыва, поверхности разрыва и т. д.Например, функция z= имеет разрыв в точке (0;0), а функция z= имеет разрыв на параболе

Метод наименьших квадратов.

Такая модель в общем виде может быть представлена уравнением (1.2):

y_t = a₀ + a₁ х_1t +...+ a_n х_nt + ε_t.

Исходными данными при оценке параметров a₀ , a₁ ,..., a_n является вектор значений зависимой переменной y = (y₁, y₂,..., y_T)' и матрица значений независимых переменных

в которой первый столбец, состоящий из единиц, соответствует коэффициенту модели .

Название свое метод наименьших квадратов получил, исходя из основного принципа, которому должны удовлетворять полученные на его основе оценки параметров: сумма квадратов ошибки модели должна быть минимальной.