Дифференцируемость и непрерывность.

Непрерывность функции есть необходимое условие ля ее дифференцируемости.

Функция y=f(x) называется дифференцируемой в некоторой точке x ₀, если она имеет в этой точке определенную производную, т.е. если предел отношения существует и конечен.

Если функция дифференцируема в каждой точке некоторого отрезка [ а; b ] или интервала (а; b), то говорят, что она дифференцируема на отрезке [ а; b ] или соответственно в интервале (а; b).

Справедлива следующая теорема, устанавливающая связь между дифференцируемыми и непрерывными функциями.

Теорема. Если функция y=f(x) дифференцируема в некоторой точке x ₀, то она в этой точке непрерывна.

Таким образом,из дифференцируемости функции следует ее непрерывность.

 

 

41. Основные правила дифференцирования

Пусть , тогда:

7) Если , то есть , где и имеют производные, то (правило дифференцирования сложной функции).

42. Производные функций: синуса, тангенса и обратных тригонометрических.

 

43. Производные функций: логарифм, показательная функция, стеленная.

44. Логарифмическое дифференцирование, дифференцирование неявных функций.

Логарифмическое дифференцирование

Логарифмическим дифференцированием называется метод дифференцирования функций, при котором сначала находится логарифм функции, а затем вычисляется производная от него. Такой прием позволяет эффективно вычислять производные степенных и рациональных функций. Рассмотрим этот подход более детально. Пусть дана функция y = f (x). Возьмем натуральные логарифмы от обеих частей: Теперь продифференцируем это выражение как сложную функцию, имея ввиду, что y - это функция от x. Отсюда видно, что искомая производная равна Неявно заданная функция:Если функция задана уравнением у=ƒ(х), разрешенным относительно у, то функция задана в явном виде (явная функция).Под неявным заданием функции понимают задание функции в виде уравнения F(x;y)=0, не разрешенного относительно у.Всякую явно заданную функцию у=ƒ (х) можно записать как неявно заданную уравнением ƒ(х)-у=0, но не наоборот.Не всегда легко, а иногда и невозможно разрешить уравнение относительно у (например, у+2х+cosy-1=0 или 2^у-х+у=0).Если неявная функция задана уравнением F(x; у)=0, то для нахождения производной от у по х нет необходимости разрешать уравнение относительно у: достаточно продифференцировать это уравнение по x, рассматривая при этом у как функцию х, и полученное затем уравнение разрешить относительно у'.Производная неявной функции выражается через аргумент х и функцию у.   45 Дифференциал, его применение в приближенных вычислениях. Дифференциалом dy функции y=y(x) называется главная часть ее приращения, пропорциональная приращению независимой переменно x. Дифференциал dx независимой переменной x равен ее приращению : Дифференциал любой дифференцируемой функции y=y(x) равен произведению ее производной на дифференциал независмой переменной: Если достаточно мало по абсолютной величине, то с точностью до бесконечно малых более высокого порядка, чем , имеет место приближенное равенство . Применение дифференциала в приближенных вычислениях. Теорема о производной сложной функции (дифференцирование сложной функции). Пусть x=x(t), y=y(t) – дифференцируемы в точке t, z=f(x,y) – дифференцируема в точке t(x,y), если t получит Δt, то x получит Δx, y – Δy, z –Δz, а т.к. функция z дифференцируема, то ее приращение 46. Геометрический смысл и свойства дифференциала Геометрический смысл: дифференциал функции f(x), соответствующей данным значениям x и Δx, равен приращению ординаты касательной к кривой y=f(x) в данной точке х. Дифференциал функции обладает свойствами: 1. Дифференциал постоянной равен нулю: dc = 0, с = const. 2. Дифференциал суммы дифференцируемых функцийравен сумме дифференциалов слагаемых: d(u+v)=du + dv Следствие. Если две дифференцируемые функции отличаются постоянным слагаемым, то их дифференциалы равны d(u+c) = du (c= const). 3. Дифференциал произведения двух дифференцируемых функций равен произведению первой функции на дифференциал второй плюс произведение второй на дифференциал первой: d(uv) = udv + vdu. Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак дифференциала d(cu) = cdu (с = const). 4. Дифференциал частного u/v двух дифференцируемых функций и = и(х) и v = v(x) определяется формулой 5. Свойство независимости вида дифференциала от выбора независимой переменной (инвариантность формы дифференциала): дифференциал функции равен произведению производной на дифференциал аргумента независимого от того, является ли этот аргумент независимой переменной или функцией другой независимой переменной. 47. Производные и дифференциалы высших порядков Пусть производная некоторой функции f дифференцируема. Тогда производная от производной этой функции называется второй производной функции f и обозначается f". Таким образом, f" (x) = (f' (x)) '. Если дифференцируема (n - 1)-я производная функции f, то ее n -й производной называется производная от (n - 1)-й производной функции f и обозначается f^(n). Итак, f^(n) (x) = (f^(n-1) (x)) ', n ϵ N, f^(0) (x) = f (x). Число n называется порядком производной. Дифференциалом n -го порядка функции f называется дифференциал от дифференциала (n - 1)-го порядка этой же функции. Таким образом, d^nf (x) = d (d^n ^-1 f (x)), d ^0 f (x) = f (x), n ϵ N. Если x - независимая переменная, то dx = const и d ^2 x = d ^3 x =... = d^nx = 0. В этом случае справедлива формула d^nf (x) = f ^(n)(x)(dx) ^n. 48. Функция, заданная параметрически Пусть зависимость между аргументом х и функцией у задана параметрически в виде двух уравнений где t — вспомогательная переменная, называемая параметром. Найдем производную у'х, считая, что функции (21.1) имеют производные и что функция х=x(t) имеет обратную t=φ(х). По правилу дифференцирования обратной функции Функцию у=ƒ(х), определяемую параметрическими уравнениями (21.1), можно рассматривать как сложную функцию у=y(t), где t=φ(х). По правилу дифференцирования сложной функции имеем: у'х=y't•t'x. С учетом равенства (21.2) получаем Полученная формула позволяет находить производную у'х от функции заданной параметрически, не находя непосредственной зависимости у от х. 49. Интервалы монотонности. Монотонность функции. Условия монотонности. Оказывается, монотонность функции связана с тем, каков знак ее производной: · Если производная положительна, то функция возрастает · Если производная отрицательна, то функция убывает Функция Производная Монотонность Линейная Если , возрастает Если , убывает Если , постоянная Прямая пропорциональность Если , возрастает Если ,убывает Обратная пропорциональность Если , убывает на и на Если , возрастает на и на Квадратичная функция Если , убывает на , возрастает на Если , возрастает на , убывает на Возрастает на