Общие правила комбинаторики.

Общие правила комбинаторики.

Правило суммы: если объект х может быть выбран n₁ способами, а а у n₂ способами, то объект “либо х либо у”, может быть выбран n₁₊ n₂ способами. Правило произведения: если объект х может быть выбран n₁ способами и каждый раз после этого объект у может быть выбран n₂ способами, то объект “х и у”, (упорядоченная пара) может быть выбран n₁ n₂

Выборки без повторений (размещения, перестановки и сочетания)

Размещениями ( без повторений ) из n элементов r называют упорядоченные выборки, имеющие r различных элементов выбранные из данных r элементов. Число всевозможных размещений обозначается:

Перестановками называют выборки, сост. из всех n разл. эл-тов множества, отличающиеся друг от друга только порядком расположения. Обозначается: P_n=n! Перестановки - частный случай размещения, n=r.

Сочетаниями (без повт.) из n по r называют выборки, имеющие r различных элементов, выбранные из данных n элементов. ; ;

Случайные события и действия над ними.

Событие, которое в результате опыта может произойти или не произойти называют случайным. Обозначают A, B, C, D… Выделяют 2 частных события: событие, которое в результате опыта обязательно наступит наз-ют достоверным. Событие, которое в результате опыта заведомо не произойдет наз-ют невозможным. Произведением А*В событий А и В наз-ют события, состоящие в появлении обоих событий. Суммой А+В наз-ют события, состоящие в появлении хотя бы одного из этих событий.

Н-р: При бросании игральных костей А - выпадение четного числа очков, В - выпадение числа очков делящихся на три, то А*В=6, А+В=2,3,4,6. Событие - наз-ют противоположным событию А, если оно состоит в не появления события А и А+ - достоверно. Для наглядности события изображают фигурами на плоскости, рассматривая событие как попадание случайно брошенной точки в соответствующую фигуру. Тогда событие А+В - это попадание в объединение фигур. А*В - это попадание в пересечение фигур. - попадание в дополнение.

Вероятность события. Статистическое определение вероятности.

Мы часто сравниваем события, говоря что одно из них более вероятно, чем другое. В связи с этим, чтобы придать данному сравнению точный кон. смысл, требуется с каждым событием связать некоторое число, кот. выражало бы степень возможности события, т.е. было бы тем больше, чем более возможное событие. Это число мы назовем вероятностью. Вероятностью события наз-ся кол-ная мера степени объективной возможности данного события. Пусть произведено n испытаний, в результате которых событие А появилось m раз. Относительной частотой (частностью) события А наз-ся отношение числа m появления события к общему числу n всех испытаний Статистич. определение: при большом числе испытаний относительная частота большинства событий изменяется мало, колеблясь около некоторого постоянного числа р. Это число р и называют вероятностью события А. Н-р: При бросании монеты частота выпадения герба колеблется около Ѕ. Вероятность показывает как часто в среднем появляется событие А. Н-р: р=2/7 говорит о том, что при большом числе испытаний событие появляется в среднем в 2 случаях из 7.

Свойства вероятностей.

1⁰ Вероятность любого события А удовлетворяет неравенству 0£P(A)£1. Док-во: 0£m£n; (: n) 0£(m\n)£1.

2⁰ Вероятность достоверного события равно 1. Очевидно что все исходы благоприятствуют событию, т.е. m=n.

3⁰ Вероятность невозможного события = 0. т. к. событие невозможно, ни один из исходов не благоприятствуют, т.е. m = 0.

Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей.

Вероятность события А при условии что произошло событие В наз-ют условной вероятностью А при событии В и обозначают Р_B(A).

Т еорема: вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность второго при условии, что произошло первое. Р(АВ)=Р(А)*Р_А(В) (1), Р(АВ)=Р(В)*Р_В(А) (2). Док-во: Р(АВ)=к/n=m/n*k/m. m/n=P(A); k/m=P_A(B), т.к. событие А произошло, то из всех возможных исходов остались только m благоприятных событию А, k из которых благоприятны событию В.

Следствие: Р(А₁А₂…А_n)=Р(А₁)*Р_А1(А₂)*Р_А1А2(А₃)*…*Р_{А1А2…Аn-1}(А_n).

Формула полной вероятности.

Пусть событие А может произойти с одним и только с одним из попарно несовместных событий В₁, В₂,…,В_n, образующих полную группу. Т.к. заранее не известно какое из событий В_i произойдет, то их наз-ют гипотезами, очевидно что наступление события А равносильно наступлению одного из попарно несовместных событий АВ₁ или АВ₂ или... АВ_n, т.е. А=АВ₁+АВ₂+…+АВ_n. По теореме сложения для несовместных событий имеем: Р(А)=Р(АВ₁)+Р(АВ₂)+…+Р(АВ_n), по теореме умножения имеем: Р(А)=Р(В₁)*Р_В1(А)+Р(В2)*Р_В2(А)+…+Р(В_n)*Р_Вn(А). P(A)=∑P(B_K)*P_BK(A)

Формула Байеса.

Пусть событие А может произойти с одним и только с одним из попарно несовместных событий гипотез В₁,…,B_n образующих полную группу. Пусть известно, что произошло событие А. Этот факт может повлиять на вероятности гипотез, т. е. произойдет их переоценка. Найдем усл. вер-ть гипотез при условии что произошло событие А. Р(АВ_i)=Р(А)*Р_А(В_i)=Р(В_i)*Р_Вi(А); Р_А(В_i)= Р(В_i)* Р_Вi(А)/Р(А), или используя формулу полной вероятности:

 

Локальная теорема Лапласа.

Если вероятность появления события А в каждом из n независимых испытаний постоянно и равна p (0<p<1), то вероятность появления события А в этих испытаниях m раз приближенно =

где

Для функции

составлены специальные таблицы при х из[0, 4), при x<0 пользуются четностью, при x>=4 полагают , т.к. функция быстро убывает. Ф-я четная. Формулой пользуются, если npq³10. Формула Лапласа дает более точный рез-т при р близких к 0,5, если p или q мало то погрешность м.б. большой. В этих случаях используют ф-лу Пуассона.

Теорема Пуассона.

Ф-лу используют если p или d мало. Пусть для опред-ти мало p, и вер-ть появления события А удовлетвор. Условию np=λ-const, с такой ситуацией встреч при редких явлениях.

Теорема: Пусть вероятность появления события А в серии из n независимых испыт. равна p=λ/n, тогда вер. появления события А в этой серии m раз удовл. условию:

(далее переписать эту формулу без предела). Ей пользуются при больших n и малых p и λ £10.

Биноминальное распределен.

Пусть вероятность появл. событ. А в каждом из n независимых испыт. = p. Рассмотрим случайную величину Х - число появления события А в этих испытаниях. Ее возможные значения i: 0, 1, 2, n. Их вероятность находят по формуле Бернулли.

Распределение, описываемое данной формулой наз-ся биноминальным. П-р: составить закон распределения числа выпадений герба при шести бросаниях монеты.

Неравенство Чебышева.

Если испыт. много, то результат не зависит от случая, что позволяет предугадывать ход событий. Дан факт явл содерж з-на больших чисел, кот сост из ряда теорем, уст факт сущ-я сред хар-к больш числа величин некот конст-м.

Лемма:(Нер Чебышева).

Пусть случайная величина Х имеет конечное МО и конечную дисперсию, т.е M(Х) D(Х), тогда для любых e>0 справедливо

Д-во: в неравенстве Чебышева речь идет о попадании случайной величины в e окрестность ее математического ожидания. Найдем вероятность противоположного события, т.е. P(|X-M(X)|³e) для дискретной случайной величины Х (для непрерывной величины д-во аналогично), только суммы заменяются соответствующими интегралами. Пусть возможное значение xi величины X имеет вероятность pi (i=1…n), обозначим x_k1,x_k2,…,x_km. Те значения величины Х для которых справедливо (|X_ki-M(X)³e), i=1…n.

Тогда Pk1+Pk2+…+Pkm=P(|X-M(X)|³e) по определению дисперсии имеем

D(X)=(X₁-M(X))²p₁+(X₂-M(X))²p₂+…+(X_n-M(X))²p_n ³ (X_k1-M(X))²p_k1+(X_k2-M(X))²p_k2+…+(X_km-M(X))²p_km³ e²(p_k1+p_k2+…+p_km)=e²P(|X-M(X)|³e).

P(|X-M(X)|³e)£D(X)/e²,

тогда -p(|X-M(X)|³e)³- D(X)/e²,

1-P(|X-M(X)|³e)³1-D(X)/e²,

т.е. p(|X-M(X)|<e)³1-D(X)/e²

Выборочное среднее.

Пусть произведено n независимых испытаний, в результате которых величина Х приняла значения: х1, х2, …,хn. О: Выборочным средним наз-ют среднее ариф. всех полученных значений случайной величины.

.

Если значение xi имеют частоту ni и i=1,k,

,

то формула примет вид

(2)

Если распределение задано в интервальной форме, то в качестве xi выбирают середину i - того интервала.

Преобразуем (2).

.

Выборочное среднее выбирают в качестве оценки МО случайной величины. Выборочное среднее является случайной величиной, меняющейся от выборки к выборке, причем значения x1, x2,…,xn можно рассматривать как возможные значения случайных величин: X1,X2,…Xn, являющихся «экземплярами» случайной величины X. Поэтому:

,

 

.

Проверим данную оценку на качество:

1) По частному случ. Т. Чеб.

.

 

Отсюда след.

.

2) (оцека не смещенная).

3) . При возрастании n D(X) убывает, но отсюда не следует её минимальность.

Можно доказать что если случайная величина имеет нормальное распределение то дисперсия выборочного среднего будет наименьшей, т.е. оценка будет эфективней.

Общие правила комбинаторики.

Правило суммы: если объект х может быть выбран n₁ способами, а а у n₂ способами, то объект “либо х либо у”, может быть выбран n₁₊ n₂ способами. Правило произведения: если объект х может быть выбран n₁ способами и каждый раз после этого объект у может быть выбран n₂ способами, то объект “х и у”, (упорядоченная пара) может быть выбран n₁ n₂