Плотность вер-ти и ее свойства. Связь с ф-ией распределения.

Пусть дана непрерывная случ. величина Х, ф-я расп. к-рой F(x) имеет непр. производную. Опр: плотностью вероятности непрерывной случ. величины Х наз. производная ее функции распределения, т.е. f(x)=F^/(x). Т: Вероятность того, что непр. случ. вел. примет значение, принадл. (a,b) определяется рав-вом:

Д-во:

. График плотности вер-ти наз. кривой распределения. Вер. попадания сл. вел. в интервал (a,b)=площ. фигуры, ограниченной кривой распределения, осью Ох и прямыми х=a, х=b. Плотность вер-ти показ-ет как часто случ вел-на попадает в окр-ть точки при повтор-и опыта.

Сл:

Д-во:

Св-ва: 1) f(x)³0 т.к. f(x) – производная неотрицательная, т.к. F(x) – неубывающая ф-ия.

2)

Доказательство:

геометрически это значит, что площадь всей фигуры, закл. м/у кривой распред-я и осью Ох=1

 

27. Нормальное распределение. Нормальная кривая. Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в интервалы и . Правило трех сигм.

Непрер-я случ. вел-на подчин-ся норм-у з-ну распр-я, если ее плотность вер-ти им. вид:

,

s>0 и a- пар-ры норм распред. График f(x) наз. нормальной кривой или кривой Гаусса. Для построения графика функции исследуем f(x). (6 пунктов самостоятельно).

Найдем вероятность попадания нормально расп. сл. вел. в (a,b).

Частный случай: d=3s

P(|X-a|<3s)=2Ф(3)=0.99 Т.к. вероятность близка к 1, то можно считать практически достоверным, что нормально распределенная случ. величина не выходит за пределы интервала (a-3s,a+3s). Это “правило трех сигм”.

Числовые хар-ки непрерывной случайной величины.

1. МО. Пусть случ велич-на имеет возможные значен-я X: x_1,…,x_n с соответствующими вер-ми p1,…,pn. О: МО случ. вел. – это сумма произведен. всех ее возм. знач-й на их вероятность. Если конечное число значений, то М(Х)=х1*р1+…+ хn*рn. Если мн-во знач-й счетно, то М(Х)=åxipi, причем этот рад сход-ся абсолютно, чтобы его сумма не зависела от порядка расположения членов. Пусть непрерывная случайная величина задана плотностью вероятности f(x). О: МО непрер. случ. велич. – интеграл.

.

Несобственный интеграл должен сход. абсолютно. Вероятностный смысл: МО прибл. равно среднему арифмет. наблюдаемых знач-й. случ. велич.(тем точнее, чем больше число испытаний).

 

2. Дисперсия сл. величины – это МО квадрата отклонения случайной величины от ее МО.

D(Х)=М[X-M(X)]²

На практике пользуются другой формулой: D(X)=M[x²-2X*M(X)+(M(X))²] = M(X²)-M(2X*M(X))+M[(M(X))²] = M(X²)-2M(X)*M(X)+(M(X))² = M(X²)-[M(X)]².

 

Свойства:

1⁰ D(с)=0. с- const; док-тво: D(с)=М(с²)-М²(с)=с²-с²=0

2⁰ D(сХ)=с²D(Х)

3⁰ D(Х+Y)=Д(X+Y), если x,y - независимы.

Следствие: D(Х-Y)=D(X+Y)

 

3. СКО

Дисперсия имеет недостаток, она имеет размерность квадрата случ. величины. Поэтому с учетом того, что D(x)³0, вводят другую характеристику: СКО. О: СКО – это квадратный корень из её дисперсии.

D(Х)=M(X²)-M²(X).

Свойство СКО.

1⁰ s(с)=0, с - const;

2⁰ s(сX)=|c|s(X).

Математическое ожидание и дисперсия нормального распределения.

Плотность нормального распределения

.

Можно доказать, что М(Х)=а, а Д(Х)=s² и s(Х)= s. Итак, параметры а и s нормального распределения равны соответственно МО и СКО. Пример: случ. величина Х распределена по нормальному закону. МО и СКО этой вел = 30, 10. Найти: вероятность того, что 1) Х прин (10,50) 2) отклонение по абс. величине будет меньше 3.

a=30-b, s=10-a; P(a<X<b)=Ф(b-a/s)- Ф(a-a/s);

1) P(10<X<50)=Ф(2)-Ф(-2)=2Ф(2)=0.95.

2) P(|x-a|<d)=2Ф(d/s), P(|X-30|<3)=2Ф(0.3)=0.2358.

Неравенство Чебышева.

Если испыт. много, то результат не зависит от случая, что позволяет предугадывать ход событий. Дан факт явл содерж з-на больших чисел, кот сост из ряда теорем, уст факт сущ-я сред хар-к больш числа величин некот конст-м.

Лемма:(Нер Чебышева).

Пусть случайная величина Х имеет конечное МО и конечную дисперсию, т.е M(Х) D(Х), тогда для любых e>0 справедливо

Д-во: в неравенстве Чебышева речь идет о попадании случайной величины в e окрестность ее математического ожидания. Найдем вероятность противоположного события, т.е. P(|X-M(X)|³e) для дискретной случайной величины Х (для непрерывной величины д-во аналогично), только суммы заменяются соответствующими интегралами. Пусть возможное значение xi величины X имеет вероятность pi (i=1…n), обозначим x_k1,x_k2,…,x_km. Те значения величины Х для которых справедливо (|X_ki-M(X)³e), i=1…n.

Тогда Pk1+Pk2+…+Pkm=P(|X-M(X)|³e) по определению дисперсии имеем

D(X)=(X₁-M(X))²p₁+(X₂-M(X))²p₂+…+(X_n-M(X))²p_n ³ (X_k1-M(X))²p_k1+(X_k2-M(X))²p_k2+…+(X_km-M(X))²p_km³ e²(p_k1+p_k2+…+p_km)=e²P(|X-M(X)|³e).

P(|X-M(X)|³e)£D(X)/e²,

тогда -p(|X-M(X)|³e)³- D(X)/e²,

1-P(|X-M(X)|³e)³1-D(X)/e²,

т.е. p(|X-M(X)|<e)³1-D(X)/e²