Выборки без повторений (размещения, перестановки и сочетания)

Размещениями ( без повторений ) из n элементов r называют упорядоченные выборки, имеющие r различных элементов выбранные из данных r элементов. Число всевозможных размещений обозначается:

Перестановками называют выборки, сост. из всех n разл. эл-тов множества, отличающиеся друг от друга только порядком расположения. Обозначается: P_n=n! Перестановки - частный случай размещения, n=r.

Сочетаниями (без повт.) из n по r называют выборки, имеющие r различных элементов, выбранные из данных n элементов. ; ;

Случайные события и действия над ними.

Событие, которое в результате опыта может произойти или не произойти называют случайным. Обозначают A, B, C, D… Выделяют 2 частных события: событие, которое в результате опыта обязательно наступит наз-ют достоверным. Событие, которое в результате опыта заведомо не произойдет наз-ют невозможным. Произведением А*В событий А и В наз-ют события, состоящие в появлении обоих событий. Суммой А+В наз-ют события, состоящие в появлении хотя бы одного из этих событий.

Н-р: При бросании игральных костей А - выпадение четного числа очков, В - выпадение числа очков делящихся на три, то А*В=6, А+В=2,3,4,6. Событие - наз-ют противоположным событию А, если оно состоит в не появления события А и А+ - достоверно. Для наглядности события изображают фигурами на плоскости, рассматривая событие как попадание случайно брошенной точки в соответствующую фигуру. Тогда событие А+В - это попадание в объединение фигур. А*В - это попадание в пересечение фигур. - попадание в дополнение.

Вероятность события. Статистическое определение вероятности.

Мы часто сравниваем события, говоря что одно из них более вероятно, чем другое. В связи с этим, чтобы придать данному сравнению точный кон. смысл, требуется с каждым событием связать некоторое число, кот. выражало бы степень возможности события, т.е. было бы тем больше, чем более возможное событие. Это число мы назовем вероятностью. Вероятностью события наз-ся кол-ная мера степени объективной возможности данного события. Пусть произведено n испытаний, в результате которых событие А появилось m раз. Относительной частотой (частностью) события А наз-ся отношение числа m появления события к общему числу n всех испытаний Статистич. определение: при большом числе испытаний относительная частота большинства событий изменяется мало, колеблясь около некоторого постоянного числа р. Это число р и называют вероятностью события А. Н-р: При бросании монеты частота выпадения герба колеблется около Ѕ. Вероятность показывает как часто в среднем появляется событие А. Н-р: р=2/7 говорит о том, что при большом числе испытаний событие появляется в среднем в 2 случаях из 7.

Классическое определение вероятности.

Событие А и В называют несовместными, если появление одного из них исключает появление другого в одном и том же испытании. A*B=V. Событие А₁,А₂, …, А_n образуют полную группу, если в результате испытания обязательно произойдет хотя бы одно из них, т.е. А₁+А₂+…+А_n = достоверно. События наз-ют равновозможными, если нет ни каких объективных причин, для того, чтобы одно из них появилось чаще, чем другое. Пусть события А₁,А₂, …, А_n образуют полную группу равновозможных попарно несовместных событий. Такие события наз-ют элементарными исходами. Прим: кубик, А1-четное число, А2 - нечетное. Предпочтительнее в качестве элементарных исходов выбирать такие, чтобы любое событие, связанное с данным опытом распадалось на них, т.е. было представимо в виде суммы некоторых из них. Т.е. элементарные исходы при которых появлялось событие А, т.е. которые в сумме составят А наз-ют благоприятствующими событию А. Вероятностью события А наз-ют отношение числа m исходов благоприятствующих событию А к общему числу n всех элементарных исходов. Р(А) = m/n.

Свойства вероятностей.

1⁰ Вероятность любого события А удовлетворяет неравенству 0£P(A)£1. Док-во: 0£m£n; (: n) 0£(m\n)£1.

2⁰ Вероятность достоверного события равно 1. Очевидно что все исходы благоприятствуют событию, т.е. m=n.

3⁰ Вероятность невозможного события = 0. т. к. событие невозможно, ни один из исходов не благоприятствуют, т.е. m = 0.