На практике для вычисления дисперсии применяется формула



Мы поможем в написании ваших работ!


Мы поможем в написании ваших работ!



Мы поможем в написании ваших работ!


ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

На практике для вычисления дисперсии применяется формула



ДВ = , (9.7)

где (среднее квадратов значений признака), а (средняя выборочная).

При вычислении и ДВ в случае интервальной выборки за хi в формулах (9.3) - (9.7) принимают значения хi * - середины интервалов.

Выборочным средним квадратическим отклонением (стандартом) sВ называется квадратный корень из выборочной дисперсии:

sВ = . (9.8)

Начальный эмпирический момент порядка k определяется по формуле

. (9.9)

Отсюда мы видим, что начальный эмпирический момент первого порядка (k=1) равен выборочной средней .

Центральный эмпирический момент mk порядка k определяется равенством

mk= . (9.10)

Отсюда видно, что m2В, т.е. центральный эмпирический момент второго порядка совпадает с выборочной дисперсией.

Равноотстоящими называют варианты, которые образуют арифметическую прогрессию с разностью h. Варианты Ui, определяемые равенством

Ui = ,

называются условными. Здесь хi – первоначальные равноотстоящие варианты, h – разность прогрессии (шаг), С – ложный нуль (новое начало отсчета). В качестве ложного нуля можно принять любую варианту. Обычно в качестве ложного нуля выбирают варианту с наибольшей частотой или варианту, стоящую в середине вариационного ряда. Условные варианты являются целыми числами. При этом варианте, которая принята в качестве ложного нуля, соответствует условная варианта, равная нулю.

Условные эмпирические моменты порядка k определяются по формуле

. (9.11)

Легко установить, что

= h + c, (9.12)

ДВ = [ ]h2. (9.13)

Метод произведений есть некоторый удобный способ вычисления условных моментов различных порядков в случае равноотстоящих вариант. По условным моментам можно найти начальные и центральные эмпирические моменты. Вычислять условные моменты легко, так как условные варианты Ui есть целые числа. В частности, по формулам (9.12) и (9.13) можно вычислить и ДВ. Максимальная простота вычислений достигается, если в качестве ложного нуля С выбрать варианту, которая расположена примерно в середине вариационного ряда.

Размахом варьирования R называют разность между наибольшей и наименьшей вариантами:

R = хmaxxmin. (9.14)

Размах есть самая простая характеристика рассеяния вариационного ряда. Еще одной характеристикой рассеяния служит среднее абсолютное отклонение Q, которое определяется равенством

Q = . (9.15)

Коэффициент вариации V определяется по формуле

V = . (9.16)

Он служит для сравнения величин рассеяния двух вариационных рядов. Большее рассеяние имеет тот ряд, у которого коэффициент вариации больше.

Важными числовыми характеристиками являются мода и медиана.

Для дискретного статистического ряда мода есть значение признака, имеющего наибольшую частоту.

Определим теперь моду интервального ряда в случае постоянной длины h всех интервалов. Пусть (хk, хk+1) – модальный интервал, т.е. интервал, которому соответствует наибольшая частота nk. Пусть nk-1 – частота интервала, предшествующего модальному, а nk+1 – частота интервала, следующего за модальным. Тогда мода М0 вычисляется по формуле

М0 = хk + h × . (9.17)

Медианой Ме называется такое значение признака, относительно которого статистический ряд делится на две части, причем в одной из них содержатся члены, у которых значения не больше Ме, а в другой – члены со значениями не меньше чем Ме.

Пусть выборка дискретна и значения признака различны. Если число вариант четное (n=2k), то

Ме = . (9.18)

Если число вариант нечетное (n=2k+1), то

Ме = хk+1 . (9.19)

Пусть выборка дискретна и значения признака повторяются. Если объем статистической совокупности является нечетным числом, то в качестве медианы берут такое значение признака Х, для которого накопленная частота SH (сумма частот вариант, не превосходящих данного значения) равна SH = , где квадратные скобки показывают, что от числа нужно взять только целую часть.

Если объем выборки является четным числом, то Ме определяется равенством

Ме = , (9.20)

где - первое значение признака, для которого накопленная частота не менее и - первое значение признака, для которого накопленная частота не менее .

Если статистический ряд задан интервалами, то медиану находят следующим образом. Выявляют первый интервал, для которого накопленная частота равна или больше половины объема статистической совокупности . Этот интервал называется медианным. Величину медианы определяют по формуле

Ме = , (9.21)

где хk- левая граница медианного интервала; Sk-1 – накопленная частота интервала, предшествующего медианному; nk – частота медианного интервала.

Асимметрия a и эксцесс e эмпирического распределения определяются равенствами:

, (9.22)

, (9.23)

где m3, m4 – центральные эмпирические моменты, соответственно, третьего и четвертого порядка. Эти характеристики используют для оценки отклонения эмпирического распределения от нормального.

 

Р е ш е н и е т и п о в ы х з а д а ч

 

Задача 1. Выборка шарикоподшипников, изготовленных станком-автоматом, дала после измерения на весах следующие результаты в граммах: 39, 41, 40, 40, 43, 41, 44, 42, 41, 41, 43, 42, 39, 40, 42, 43, 41, 42, 41, 39, 42, 42, 41, 42, 40, 41, 43, 41, 39, 40. Составить статистическое распределение выборки. Построить полигоны частот и относительных частот.

Решение. Значения хi вариант выборки (вес шарикоподшипников) расположим в порядке возрастания в первой строке таблицы, а во второй строке – количество шарикоподшипников этого веса (частоты):

хi
ni

Получили дискретное статистическое распределение выборки объема n=Sni = 4+5+9+7+4+1=30. Мода М0=41.

Построим полигон частот. Для этого откладываем по оси Ох значения хi вариант выборки, а по оси ординат – частоты ni. Полученные точки соединяем отрезками прямых. Это и будет полигон частот (см.рис. ниже).

ni

 

9

 

7

 

5

4

 

1

               
   
     
 


0 39 40 41 42 43 44 х

 

Полигон относительных частот строится аналогично полигону частот. На оси ординат вместо частот ni откладываем относительные частоты Wi. Полигон относительных частот изображен ниже на рисунке.

 

Wi

 

 

0 х

 

Задача 2. Составить статистическое распределение выборки – рабочих по процентам выполнения норм выработки, если произведена случайная выборка объема 20 человек и получены такие данные относительно выполнения ими норм выработки в процентах: 127, 121, 112, 114, 131, 117, 109, 107, 155, 135, 103, 145, 99, 100, 97, 102, 122, 115, 132, 105. Построить гистограммы частот и относительных частот.

Решение. Находим наибольшее и наименьшее значения варианты Х: хнаиб=155, хнаим=95. Разобьем здесь объем выборки на 7 промежутков длиной h=10. Частичные промежутки расположим в первой строке таблицы, а во второй – количество рабочих, чья выработка заключена в данном частичном промежутке. Получим следующее интервальное распределение:

Процент нормы выработки рабочих 90-100 100-110 110-120 120-130 130-140 140-150 150-160
Частоты (ni)

 

Построим гистограмму частот распределения. Для этого по оси Oх отложим промежутки распределения выборки и на них как на основаниях строим прямоугольники, высоты которых равны соответственно . Гистограмма частот изображена на рисунке ниже.

 

 

       
   
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 


 

0 90 100 110 120 130 140 150 160 х

Нетрудно убедиться, что площадь построенных прямоугольников равна объему выборки:

Гистограмму относительных частот строим аналогично гистограмме частот. Только на оси ординат вместо откладываем значения , где Wi – относительные частоты соответствующих частичных промежутков. Изображение гистограммы относительных частот см. на рисунке.

 

       
   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 


0 90 100 110 120 130 140 150 160 х

Сумма площадей построенных прямоугольников равна единице.

Задача 3. Данные о продаже женской обуви в магазине за день заданы таблицей

Размер обуви
Количество проданных пар

Найти эмпирическую функцию распределения выборки и построить ее график.

Решение. Эмпирическую функцию распределения выборки находим по формуле (9.1). Объем выборки равен 4+5+9+7+4+1=30. Наименьшая варианта равна 35. Значит, F*(х)=0 при х£35. Значения Х<36, т.е. х1=35 наблюдались 4 раза. Следовательно, F*(х)= при 35< х £ 36. Значения Х<37 (х1=35, х2=36) наблюдались 4+5=9 раз. Следовательно, F*(х)= при 36< х £ 37. Аналогично находим: F*(х) = при 37< x £ 38; F*(х) = при 38< х £ 39; F*(х) = при 39< х £ 40. Так как х=40 – наибольшая варианта, то F*(х)=1 при х>40. Запишем эмпирическую функцию:

F*(х) =

График этой функции изображен на рисунке.

y

 

0 х

Задача 4. Распределение урожайности сои на площади в 1000 га дано в таблице

Урожай с га в центнерах 9,6 10,5 11,4
Число га

Определить выборочную среднюю, выборочную дисперсию и выборочное среднее квадратическое отклонение урожайности сои.

Решение. Выборочная средняя урожайности с га вычисляется по формуле (9.4):

= (ц).

Для определения выборочной дисперсии воспользуемся формулой (9.6). Получим

ДВ =

+

Выборочное среднее квадратическое отклонение sВ находим по формуле (9.8): sВ = » 1,02.

Задача 5. Вычислить выборочную среднюю, выборочную дисперсию, выборочное среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации для распределения заработной платы водителей автобазы (в руб. за месяц):

Зарплата (руб./месяц) 200-250 250-300 300-350 350-400 400-450 450-500
Количество водителей

Решение. Превратим данный интервальный ряд в дискретный, взяв в качестве вариант середины интервалов:

Зарплата (руб./месяц)
Количество водителей

По формуле (9.4) выборочной средней найдем, что

=

Вычислим выборочную дисперсию по формуле (9.7):

ДВ =

Извлекая корень квадратный из дисперсии, получим выборочное среднее квадратическое отклонение sВ = »73,5.

Коэффициент вариации заработной платы водителей автобазы вычислим по формуле (9.16):

V = .

Задача 6. Дано следующее статистическое распределение выборки:

 

хi
ni

 

Вычислить начальные и центральные моменты первого, второго и третьего порядка, размах варьирования и среднее абсолютное отклонение.

Решение. Используя формулу (9.9), находим начальные моменты:

Центральные моменты вычисляем по формуле (9.10):

m1=0, m2В= m3=

Используя формулы (9.14) и (9.15), получим

R=8-3=5, Q=

Задача 7. Магазин в течение месяца реализовал 100 мужских костюмов. Распределение их по размерам дано таблицей

Размер костюма
Количество костюмов

Найти модальное значение размера проданного костюма.

Решение. Из таблицы видно, что частота 52-го размера проданного костюма равна 29 и она является наибольшей. Следовательно, мода М0=52.

Задача 8. Товарооборот магазина по месяцам составил (в тыс. руб.): 50; 53; 60; 52; 54; 48; 44,5; 62; 55; 53,5; 58, 64. Определить медиану и размах товарооборота.

Решение. Расположив месячные товарообороты в порядке их возрастания, получим ряд: 44,5; 48; 50; 52; 53; 53,5; 54; 55; 58; 60; 62; 64. В этом вариационном ряде четное число данных и значения признака различны, поэтому по формуле (9.18)

Ме =



Последнее изменение этой страницы: 2016-06-26; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 35.175.107.77 (0.015 с.)