На практике для вычисления дисперсии применяется формула

Д_В = , (9.7)

где (среднее квадратов значений признака), а (средняя выборочная).

При вычислении и Д_В в случае интервальной выборки за х _i в формулах (9.3) - (9.7) принимают значения х _i * - середины интервалов.

Выборочным средним квадратическим отклонением (стандартом) s_В называется квадратный корень из выборочной дисперсии:

s_В = . (9.8)

Начальный эмпирический момент порядка k определяется по формуле

. (9.9)

Отсюда мы видим, что начальный эмпирический момент первого порядка (k=1) равен выборочной средней .

Центральный эмпирический момент m_k порядка k определяется равенством

m_k= . (9.10)

Отсюда видно, что m₂=Д_В, т.е. центральный эмпирический момент второго порядка совпадает с выборочной дисперсией.

Равноотстоящими называют варианты, которые образуют арифметическую прогрессию с разностью h. Варианты U_i, определяемые равенством

U_i = ,

называются условными. Здесь х _i – первоначальные равноотстоящие варианты, h – разность прогрессии (шаг), С – ложный нуль (новое начало отсчета). В качестве ложного нуля можно принять любую варианту. Обычно в качестве ложного нуля выбирают варианту с наибольшей частотой или варианту, стоящую в середине вариационного ряда. Условные варианты являются целыми числами. При этом варианте, которая принята в качестве ложного нуля, соответствует условная варианта, равная нулю.

Условные эмпирические моменты порядка k определяются по формуле

. (9.11)

Легко установить, что

= h + c, (9.12)

Д_В = [ ]h². (9.13)

Метод произведений есть некоторый удобный способ вычисления условных моментов различных порядков в случае равноотстоящих вариант. По условным моментам можно найти начальные и центральные эмпирические моменты. Вычислять условные моменты легко, так как условные варианты U_i есть целые числа. В частности, по формулам (9.12) и (9.13) можно вычислить и Д_В. Максимальная простота вычислений достигается, если в качестве ложного нуля С выбрать варианту, которая расположена примерно в середине вариационного ряда.

Размахом варьирования R называют разность между наибольшей и наименьшей вариантами:

R = х _max – x _min. (9.14)

Размах есть самая простая характеристика рассеяния вариационного ряда. Еще одной характеристикой рассеяния служит среднее абсолютное отклонение Q, которое определяется равенством

Q = . (9.15)

Коэффициент вариации V определяется по формуле

V = . (9.16)

Он служит для сравнения величин рассеяния двух вариационных рядов. Большее рассеяние имеет тот ряд, у которого коэффициент вариации больше.

Важными числовыми характеристиками являются мода и медиана.

Для дискретного статистического ряда мода есть значение признака, имеющего наибольшую частоту.

Определим теперь моду интервального ряда в случае постоянной длины h всех интервалов. Пусть (х _k, х _k+1) – модальный интервал, т.е. интервал, которому соответствует наибольшая частота n_k. Пусть n_k-1 – частота интервала, предшествующего модальному, а n_k+1 – частота интервала, следующего за модальным. Тогда мода М₀ вычисляется по формуле

М₀ = х _k + h × . (9.17)

Медианой М_е называется такое значение признака, относительно которого статистический ряд делится на две части, причем в одной из них содержатся члены, у которых значения не больше М_е, а в другой – члены со значениями не меньше чем М_е.

Пусть выборка дискретна и значения признака различны. Если число вариант четное (n=2k), то

М_е = . (9.18)

Если число вариант нечетное (n=2k+1), то

М_е = х _k+1. (9.19)

Пусть выборка дискретна и значения признака повторяются. Если объем статистической совокупности является нечетным числом, то в качестве медианы берут такое значение признака Х, для которого накопленная частота S_H (сумма частот вариант, не превосходящих данного значения) равна S_H = , где квадратные скобки показывают, что от числа нужно взять только целую часть.

Если объем выборки является четным числом, то М_е определяется равенством

М_е = , (9.20)

где - первое значение признака, для которого накопленная частота не менее и - первое значение признака, для которого накопленная частота не менее .

Если статистический ряд задан интервалами, то медиану находят следующим образом. Выявляют первый интервал, для которого накопленная частота равна или больше половины объема статистической совокупности . Этот интервал называется медианным. Величину медианы определяют по формуле

М_е = , (9.21)

где х _k- левая граница медианного интервала; S_k-1 – накопленная частота интервала, предшествующего медианному; n_k – частота медианного интервала.

Асимметрия a и эксцесс e эмпирического распределения определяются равенствами:

, (9.22)

, (9.23)

где m₃, m₄ – центральные эмпирические моменты, соответственно, третьего и четвертого порядка. Эти характеристики используют для оценки отклонения эмпирического распределения от нормального.

 

Р е ш е н и е т и п о в ы х з а д а ч

 

Задача 1. Выборка шарикоподшипников, изготовленных станком-автоматом, дала после измерения на весах следующие результаты в граммах: 39, 41, 40, 40, 43, 41, 44, 42, 41, 41, 43, 42, 39, 40, 42, 43, 41, 42, 41, 39, 42, 42, 41, 42, 40, 41, 43, 41, 39, 40. Составить статистическое распределение выборки. Построить полигоны частот и относительных частот.

Решение. Значения х _i вариант выборки (вес шарикоподшипников) расположим в порядке возрастания в первой строке таблицы, а во второй строке – количество шарикоподшипников этого веса (частоты):

х i
ni

Получили дискретное статистическое распределение выборки объема n=Sn_i = 4+5+9+7+4+1=30. Мода М₀=41.

Построим полигон частот. Для этого откладываем по оси О _х значения х _i вариант выборки, а по оси ординат – частоты n_i. Полученные точки соединяем отрезками прямых. Это и будет полигон частот (см.рис. ниже).

n_i

 

9

 

7

 

5

4

 

1

0 39 40 41 42 43 44 х

 

Полигон относительных частот строится аналогично полигону частот. На оси ординат вместо частот n_i откладываем относительные частоты W_i. Полигон относительных частот изображен ниже на рисунке.

 

W_i

 

 

0 х

 

Задача 2. Составить статистическое распределение выборки – рабочих по процентам выполнения норм выработки, если произведена случайная выборка объема 20 человек и получены такие данные относительно выполнения ими норм выработки в процентах: 127, 121, 112, 114, 131, 117, 109, 107, 155, 135, 103, 145, 99, 100, 97, 102, 122, 115, 132, 105. Построить гистограммы частот и относительных частот.

Решение. Находим наибольшее и наименьшее значения варианты Х: х _наиб=155, х _наим=95. Разобьем здесь объем выборки на 7 промежутков длиной h=10. Частичные промежутки расположим в первой строке таблицы, а во второй – количество рабочих, чья выработка заключена в данном частичном промежутке. Получим следующее интервальное распределение:

Процент нормы выработки рабочих	90-100	100-110	110-120	120-130	130-140	140-150	150-160
Частоты (ni)

 

Построим гистограмму частот распределения. Для этого по оси O х отложим промежутки распределения выборки и на них как на основаниях строим прямоугольники, высоты которых равны соответственно . Гистограмма частот изображена на рисунке ниже.

 

 

 

 

0 90 100 110 120 130 140 150 160 х

Нетрудно убедиться, что площадь построенных прямоугольников равна объему выборки:

Гистограмму относительных частот строим аналогично гистограмме частот. Только на оси ординат вместо откладываем значения , где W_i – относительные частоты соответствующих частичных промежутков. Изображение гистограммы относительных частот см. на рисунке.

 

 

0 90 100 110 120 130 140 150 160 х

Сумма площадей построенных прямоугольников равна единице.

Задача 3. Данные о продаже женской обуви в магазине за день заданы таблицей

Размер обуви
Количество проданных пар

Найти эмпирическую функцию распределения выборки и построить ее график.

Решение. Эмпирическую функцию распределения выборки находим по формуле (9.1). Объем выборки равен 4+5+9+7+4+1=30. Наименьшая варианта равна 35. Значит, F*(х)=0 при х £35. Значения Х <36, т.е. х ₁=35 наблюдались 4 раза. Следовательно, F*(х)= при 35< х £ 36. Значения Х <37 (х ₁=35, х ₂=36) наблюдались 4+5=9 раз. Следовательно, F*(х)= при 36< х £ 37. Аналогично находим: F*(х) = при 37< x £ 38; F*(х) = при 38< х £ 39; F*(х) = при 39< х £ 40. Так как х =40 – наибольшая варианта, то F*(х)=1 при х >40. Запишем эмпирическую функцию:

F*(х) =

График этой функции изображен на рисунке.

y

 

0 х

Задача 4. Распределение урожайности сои на площади в 1000 га дано в таблице

Урожай с га в центнерах		9,6		10,5	11,4
Число га

Определить выборочную среднюю, выборочную дисперсию и выборочное среднее квадратическое отклонение урожайности сои.

Решение. Выборочная средняя урожайности с га вычисляется по формуле (9.4):

= (ц).

Для определения выборочной дисперсии воспользуемся формулой (9.6). Получим

Д_В =

+

Выборочное среднее квадратическое отклонение s_В находим по формуле (9.8): s_В = » 1,02.

Задача 5. Вычислить выборочную среднюю, выборочную дисперсию, выборочное среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации для распределения заработной платы водителей автобазы (в руб. за месяц):

Зарплата (руб./месяц)	200-250	250-300	300-350	350-400	400-450	450-500
Количество водителей

Решение. Превратим данный интервальный ряд в дискретный, взяв в качестве вариант середины интервалов:

Зарплата (руб./месяц)
Количество водителей

По формуле (9.4) выборочной средней найдем, что

=

Вычислим выборочную дисперсию по формуле (9.7):

Д_В =

Извлекая корень квадратный из дисперсии, получим выборочное среднее квадратическое отклонение s_В = »73,5.

Коэффициент вариации заработной платы водителей автобазы вычислим по формуле (9.16):

V = .

Задача 6. Дано следующее статистическое распределение выборки:

 

х i
ni

 

Вычислить начальные и центральные моменты первого, второго и третьего порядка, размах варьирования и среднее абсолютное отклонение.

Решение. Используя формулу (9.9), находим начальные моменты:

Центральные моменты вычисляем по формуле (9.10):

m₁=0, m₂=Д_В= m₃=

Используя формулы (9.14) и (9.15), получим

R=8-3=5, Q=

Задача 7. Магазин в течение месяца реализовал 100 мужских костюмов. Распределение их по размерам дано таблицей

Размер костюма
Количество костюмов

Найти модальное значение размера проданного костюма.

Решение. Из таблицы видно, что частота 52-го размера проданного костюма равна 29 и она является наибольшей. Следовательно, мода М₀=52.

Задача 8. Товарооборот магазина по месяцам составил (в тыс. руб.): 50; 53; 60; 52; 54; 48; 44,5; 62; 55; 53,5; 58, 64. Определить медиану и размах товарооборота.

Решение. Расположив месячные товарообороты в порядке их возрастания, получим ряд: 44,5; 48; 50; 52; 53; 53,5; 54; 55; 58; 60; 62; 64. В этом вариационном ряде четное число данных и значения признака различны, поэтому по формуле (9.18)

М_е =