Обозначения, используемые в формулах средних величин

 

Обозначения	Названия	Значения
	Усредняемый признак (средняя величина)	Признак, по которому находится средняя величина
	Индивидуальное значение признака	Величина определяемого признака у каждой единицы совокупности
f	Частота (вес)	Повторяемость индивидуальных значений признака
n	Количество индивидуальных значений признака
w	Объем явления, признака

Формулы расчета степенных средних величин показаны в таблице 12.

Таблица 12

Формулы расчета степенных средних величин

Наименование средней величины	Формула расчета
простая	взвешенная
Арифметическая
Гармоническая
Квадратическая
Геометрическая

 

Структурные средние величиныпредставлены на рисунке 15.

 

Рис. 15. Характеристика структурных средних величин

 

Порядок определения моды представлен на рисунке 16.

 

 

 

	Модой является значение признака с наибольшей частотой

 

 

 

Рис. 16. Порядок определения моды

 

Порядок определения медианы представлен на рисунке 17.

 

 

 

Рис. 17. Порядок определения медианы

Задания для практических занятий и самостоятельной работы

 

Задание 1. Имеются следующие данные о показателях работы предприятий отрасли за отчетный период:

Показатель	№ предприятия
Объем продукции, тыс. шт.	9,0	9,8	8,5	8,6	9,1
Стоимость реализованной продукции, тыс. руб.
Прибыль от продажи, тыс. руб.

 

Определите средние уровни каждого показателя по предприятиям отрасли.

 

Задание 2. Имеются следующие данные о продаже картофеля на рынках города:

№ рынка	Средняя цена 1 кг, руб.	Продано, тыс. кг
базисный год	отчетный год
	9,20
	8,60
	9,50

Определите для каждого года средние цены картофеля по трем рынкам города вместе.

Задание 3. Три работника в течение смены заняты изготовлением одинаковых деталей. Первый затрачивает на выработку одной детали 15 мин., второй – 20, третий – 18 мин. Определите среднее значение затрат времени на изготовление одной детали с помощью средней гармонической простой.

Задание 4. Имеются данные о финансовых показателях нескольких фирм за два периода:

№ фирмы	Базисный период	Отчетный период
Прибыль на одну акцию, руб.	Сумма прибыли от продажи акций, тыс. руб.	Прибыль на одну акцию, руб.	Сумма прибыли от продажи акций, тыс. руб.
	7,0		9,0
	4,0		8,0
	6,0		7,5

 

Определите для каждого периода среднюю прибыль на одну акцию по трем фирмам вместе.

 

Задание 5. Продажа автомобилей на товарной бирже города характеризуется следующими данными:

Дата продажи в марте	Реализовано автомобилей, шт.	Средняя цена одного автомобиля, тыс. руб.	Дата продажи в апреле	Общая сумма выручки от продажи автомобилей, тыс. руб.	Средняя цена одного автомобиля, тыс. руб.
4 марта 17 марта 28 марта		180,5 187,7 190,0	3 апреля 9 апреля 20 апреля 26 апреля		182,4 181,5 179,8 190,8

 

Определите, как изменилась средняя цена одного автомобиля в апреле по сравнению с мартом с помощью относительной величины динамики.

Задание 6. По следующим данным рассчитайте средний стаж работы рабочих предприятия:

Группы рабочих по стажу, лет	0-5	5-10	10-20	Свыше 20
Число рабочих, чел.

 

Задание 7. Имеются следующие данные об оплате труда работников двух предприятий:

№ предприятия	Фонд заработной платы, тыс. руб.	Среднесписочная численность работников, чел.	Среднемесячная заработная плата, руб.	Удельный вес работников, %
	гр. 1	гр. 2	гр. 3	гр. 4

 

Определите среднемесячную заработную плату работников двух предприятий вместе, используя показатели: а) гр. 2 и 3; б) гр. 1 и 3; в) гр. 3 и 4.

 

Задание 8. Имеются следующие данные о цене товара по шести магазинам города на 1 января отчетного года:

Номер магазина
Цена единицы товара, руб.

Определите моду и медиану цены товара.

Задание 9. Распределение магазинов по размеру товарооборота за октябрь отчетного года характеризуется следующими данными:

Размер товарооборота, тыс. руб.
Число магазинов

Определите моду и медиану размера товарооборота.

Задание 10. Имеются данные о сроках функционирования коммерческих банков на начало года:

 

Срок функционирования, лет	1-2	2-3	3-4	4-5	5-6	6-7	Свыше 7
Число банков, %

 

Определите: 1) средний срок функционирования банков; 2) моду функционирования банков; 3) медиану функционирования банков.

Задание 11. Определите моду и медиану в следующем ряду:

 

12 14 18 10 12 19 11 12 14 12 18 20.

 

Вопросы для самоконтроля

 

1. Какое значение имеет средняя величина в статистике?

2. Какие виды средних величин применяются в статистике?

3. По каким данным определяются простая и взвешенная средняя величина?

4. Какие средние величины используются в рядах распределения?

5.3. Показатели вариации и дисперсионный анализ

 

Вариация – это различие значений признака у разных единиц совокупности и их колебания около средней величины в один и тот же период или момент времени.

Вариация присуща массовым явлениям. Она возникает в результате того, что индивидуальные значения признака складываются под совокупным влиянием разнообразных факторов, которые по-разному сочетаются в каждом конкретном случае.

Для измерения вариации используются абсолютные и относительные показатели,формулы расчета которых представлены в таблице 13.

Таблица 13

Показатели вариации

Наименование показателя	Формула расчета
простая	взвешенная
Размах вариации
Среднее линейное отклонение
Дисперсия
Среднее квадратическое отклонение
Линейный коэффициент вариации
Коэффициент вариации

Примечание.

Чем меньше значения показателей вариации, тем ниже вариация изучаемого признака и, следовательно, выше однородность совокупности и типичнее средняя.Совокупность считается количественно однородной, если коэффициент вариации не превышает 33%.

 

Для статистической совокупности, сгруппированной по изучаемому признаку, возможно исчисление трех видов дисперсий: общей, межгрупповой и средней внутригрупповой (табл. 14).

Таблица 14

Дисперсионный анализ

Наименование показателя	Формула расчета
простая	взвешенная
Общая дисперсияизмеряет вариацию признака в целом по совокупности под влиянием всех факторов
Межгрупповая дисперсияотражает вариацию признака, которая возникает под влиянием фактора, положенного в основание группировки
Средняя внутригрупповая дисперсия характеризует случайную вариацию, возникающую под влиянием других факторов, кроме положенного в основание группировки

 

Указанные дисперсии взаимосвязаны между собой следующим равенством: величина общей дисперсии равна сумме межгрупповой дисперсии и средней внутригрупповой дисперсии: .

Пользуясь правилом сложения дисперсий, можно по двум известным дисперсиям найти третью – неизвестную, а также иметь представление о силе влияния группировочного признака, вычислив коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное отношение.

Коэффициент детерминации показывает долю общей вариации результативного признака, обусловленную вариацией группировочного признака.

Эмпирическое корреляционное отношение показывает тесноту связи между группировочным и результативным признаками (шкала Чеддока):

	0,1-0,3	0,3-0,5	0,5-0,7	0,7-0,9	0,9-0,99
Сила связи	слабая	умеренная	заметная	тесная	весьма тесная

 

Задания для практических занятий и самостоятельной работы

 

Задание 1. Имеются следующие данные об остатках товаров в шести магазинах одной сети:

Номер магазина	Остаток товаров, тыс. руб.
на 1 января 2007 г.	На 1 января 2008 г.

 

Определите на каждую дату показатели вариации остатка товаров: 1) размах вариации; 2) среднее линейное отклонение; 3) линейный коэффициент вариации. Сделайте вывод, на какую дату остаток товаров более устойчив.

 

Задание 2. Имеются следующие данные о распределении продовольственных магазинов региона по размеру товарооборота за месяц:

Группы магазинов по товарообороту, млн руб.	40-50	50-60	60-70	70-80	80-90	90-100
Число магазинов

 

Определите: 1) средний размер товарооборота; 2) среднее линейное отклонение; 3) дисперсию; 4) среднее квадратическое отклонение; 5) коэффициент вариации товарооборота.

Для расчетов рекомендуется использовать следующую таблицу:

Группы магазинов по товарообороту, млн руб.	Число магазинов   f	Середина интервала   xi	xi f
40-50
50-60
60-70
70-80
80-90
90-100
Итого		x			x

 

Задание 3. По данным распределения работников предприятия по стажу определите показатели вариации (среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации):

Стаж работы, лет	До 1	1-2	2-3	3-5	5-7	7-9	Более 9
Количество работников

 

Задание 4. Имеются следующие данные о результатах обследования рабочих предприятия по размеру месячной заработной платы.

Общая дисперсия заработной платы в обследованной совокупности рабочих составила 450.

Группы рабочих по возрасту, лет	Число рабочих	Дисперсия заработной платы
До 20 20-30 30 и старше

 

Определите, в какой степени вариация заработной платы рабочих предприятия зависит от возраста, рассчитав коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное отношение.

 

Задание 5. Имеются данные о чистой прибыли предприятий двух районов:

Район	Число предприятий	Чистая прибыль, млн руб.
		4, 6, 9, 4, 7, 6
		8, 12, 8, 9, 6, 5, 7, 7, 8, 10

 

Определите дисперсии чистой прибыли: 1) внутригрупповые (по каждому району); 2) среднюю внутригрупповую; 3) межгрупповую; 4) общую; 5) коэффициент детерминации; 6) эмпирическое корреляционное отношение. Сделайте выводы.

 

Вопросы для самоконтроля

 

 

1. Что представляет собой вариация признака и от чего зависят ее размеры?

2. Какие показатели вариации вы знаете?

3. Что показывает коэффициент вариации?

4. Что представляет собой правило сложения дисперсий и в чем его практическое значение?

5. Какие показатели можно использовать для определения степени влияния факторного признака на результативный?