ТЕМА 5. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН



Мы поможем в написании ваших работ!


Мы поможем в написании ваших работ!



Мы поможем в написании ваших работ!


ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

ТЕМА 5. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН



Математическое ожидание дискретных и непрерывных случайных величин. Вероятностный смысл математического ожидания. Постоянная величина, произведение постоянной на случайную, сумма случайных величин. Отклонение случайной величины от ее центра. Независимые и взаимно независимые случайные величины. Произведение случайных величин. Квадрат случайной величины, целая положительная степень случайной величины. Свойства математического ожидания. Мода и медиана. Дисперсия дискретных и непрерывных случайных величин. Свойства дисперсии. Формула для вычисления дисперсии. Среднее квадратичное отклонение. Понятие о моментах распределения. Коэффициент корреляции и его свойства.

 

Л и т е р а т у р а

 

[2], гл.4, § 1, 3, 5, 6; [3], гл.5, 5.5-5.7, гл.10, 10.2; [5], гл.7, § 1-4, гл.8, § 1-5, 7-10, гл.12, § 1; [6], гл.5; [7], гл.8, § 20, гл.9, § 21, 22, гл.10, § 23-25; [8], гл.3, § 2-4, гл.4, § 4, 6; [9], гл.2, § 7-9, гл.3, § 8; [10], гл.4, § 1, 2; [11], гл.29, § 201, 202, 204; [12], гл.3, § 10, 11; [13], гл.20, § 9, 10, 14; [14], § 2; [15], гл.6, § 1-4; [16], гл.2, 2.2.4.

 

О с н о в н ы е п о л о ж е н и я и ф о р м у л ы

 

Математическое ожидание М(Х) дискретной случайной величины с конечным числом значений определяется равенством

М(Х) = (5.1)

и в случае счетного числа значений – равенством

М(Х)= (5.2)

при этом предполагается, что ряд абсолютно сходится. Для непрерывной случайной величины М(Х) определяется формулой

М(Х)= (5.3)

Интегралы в равенстве (5.3) берутся по соответствующему множеству значений случайной величины, при этом предполагается, что несобственные интегралы сходятся абсолютно.

Пусть С – постоянная величина. Тогда

М(С)=С, М(СХ)=СМ(Х). (5.4)

Математическое ожидание алгебраической суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых:

М(Х±Y) = М(Х) ±М(Y).(5.5)

Это свойство распространяется на любое конечное число слагаемых.

Если ХиYнезависимы, то

М(ХY) = М(Х) М(Y).(5.6)

Математическое ожидание произведения нескольких взаимно независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий.

Случайная величина Х-М(Х)называется отклонением случайной величины от ее центра. Математическое ожидание отклонения равно нулю:

М[X-М(Х)] =0. (5.7)

Дисперсией (рассеянием) Д(Х) случайной величины Х называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее центра (математического ожидания):

Д(Х) = М[Х-М(Х)]2. (5.8)

Для вычисления дисперсии используется формула

Д(Х) = М(Х2) – [М(Х)]2. (5.9)

Дисперсия обладает свойствами

Д(С) =0, Д(СХ)=С2Д(Х). (5.10)

Если ХиYнезависимы, то

Д(Х±Y) = Д(Х) + Д(Y). (5.11)

Среднее квадратическое отклонение s(Х) случайной величины Х определяется равенством

s(X) = . (5.12)

Число nk , определяемое равенством

n k = М[(X-C)k], (5.13)

называется моментом k-го порядка случайной величины Х. Если С=0, то момент называется начальным. Само математическое ожидание есть начальный момент первого порядка. Если С=М(Х), то момент называется центральным. Легко видеть, что центральный момент второго порядка есть не что иное, как дисперсия.

Коэффициентом корреляции r(Х, Y) между случайными величинами Х и Y называется число

r(Х, Y) = . (5.14)

Если Х и Y нормировать, т.е. ввести величины Х1= , Y1= , то r(Х, Y)=М(Х1Y1). Если Х и Y независимы, то очевидно, что r(Х, Y)=0. Можно доказать, что

Часто приходится находить закон распределения случайной величины Y=y(Х) при известном законе распределения Х. Для дискретной случайной величины Х, принимающей значения хi с вероятностями рi, полагают, что Y=y(Х) принимает значения yi=y(xi) с теми же вероятностями рi. При этом, если некоторым хi будут соответствовать равные между собой значения yi, то в ряде распределения случайной величины Y эти yi записываются только один раз с вероятностью, равной сумме соответствующих вероятностей.

Пусть ХиY – дискретные случайные величины, при этом Х принимает значения хi с вероятностями Р(Хi), а Y – значения yj с вероятностями Р(Y=yj). Тогда их сумма Х+Y, разность Х-Y, произведение XYсоответственно принимают всевозможные значения хi + yj, хi – yj , хi yj с вероятностями рij, определяемыми формулой

рij = Р(Х=хi) ´ (Y=yj), (5.15)

а для независимых случайных величин – формулой

рij = Р(Х=хi) ´ Р(Y=yj). (5.16)

При этом, если при некоторых i и j величины хi + yj, хi – yj , хi yj примут равные значения, то соответствующая вероятность есть сумма вероятностей по этим индексам i, j.

 



Последнее изменение этой страницы: 2016-06-26; просмотров: 421; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 34.207.247.69 (0.014 с.)