Тема 5. Числовые характеристики случайных величин

Математическое ожидание дискретных и непрерывных случайных величин. Вероятностный смысл математического ожидания. Постоянная величина, произведение постоянной на случайную, сумма случайных величин. Отклонение случайной величины от ее центра. Независимые и взаимно независимые случайные величины. Произведение случайных величин. Квадрат случайной величины, целая положительная степень случайной величины. Свойства математического ожидания. Мода и медиана. Дисперсия дискретных и непрерывных случайных величин. Свойства дисперсии. Формула для вычисления дисперсии. Среднее квадратичное отклонение. Понятие о моментах распределения. Коэффициент корреляции и его свойства.

 

Л и т е р а т у р а

 

[2], гл.4, § 1, 3, 5, 6; [3], гл.5, 5.5-5.7, гл.10, 10.2; [5], гл.7, § 1-4, гл.8, § 1-5, 7-10, гл.12, § 1; [6], гл.5; [7], гл.8, § 20, гл.9, § 21, 22, гл.10, § 23-25; [8], гл.3, § 2-4, гл.4, § 4, 6; [9], гл.2, § 7-9, гл.3, § 8; [10], гл.4, § 1, 2; [11], гл.29, § 201, 202, 204; [12], гл.3, § 10, 11; [13], гл.20, § 9, 10, 14; [14], § 2; [15], гл.6, § 1-4; [16], гл.2, 2.2.4.

 

О с н о в н ы е п о л о ж е н и я и ф о р м у л ы

 

Математическое ожидание М(Х) дискретной случайной величины с конечным числом значений определяется равенством

М(Х) = (5.1)

и в случае счетного числа значений – равенством

М(Х) = (5.2)

при этом предполагается, что ряд абсолютно сходится. Для непрерывной случайной величины М(Х) определяется формулой

М(Х) = (5.3)

Интегралы в равенстве (5.3) берутся по соответствующему множеству значений случайной величины, при этом предполагается, что несобственные интегралы сходятся абсолютно.

Пусть С – постоянная величина. Тогда

М(С)=С, М(СХ)=СМ(Х). (5.4)

Математическое ожидание алгебраической суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых:

М(Х±Y) = М(Х) ±М(Y). (5.5)

Это свойство распространяется на любое конечное число слагаемых.

Если Х и Y независимы, то

М(ХY) = М(Х) М(Y). (5.6)

Математическое ожидание произведения нескольких взаимно независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий.

Случайная величина Х-М(Х) называется отклонением случайной величины от ее центра. Математическое ожидание отклонения равно нулю:

М[X-М(Х)] = 0. (5.7)

Дисперсией (рассеянием) Д(Х) случайной величины Х называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее центра (математического ожидания):

Д(Х) = М[Х-М(Х)]². (5.8)

Для вычисления дисперсии используется формула

Д(Х) = М(Х²) – [М(Х)]². (5.9)

Дисперсия обладает свойствами

Д(С) = 0, Д(СХ)=С²Д(Х). (5.10)

Если Х и Y независимы, то

Д(Х±Y) = Д(Х) + Д(Y). (5.11)

Среднее квадратическое отклонение s(Х) случайной величины Х определяется равенством

s(X) = . (5.12)

Число n_k, определяемое равенством

n _k = М [(X-C)^k], (5.13)

называется моментом k-го порядка случайной величины Х. Если С =0, то момент называется начальным. Само математическое ожидание есть начальный момент первого порядка. Если С = М(Х), то момент называется центральным. Легко видеть, что центральный момент второго порядка есть не что иное, как дисперсия.

Коэффициентом корреляции r(Х, Y) между случайными величинами Х и Y называется число

r(Х, Y) = . (5.14)

Если Х и Y нормировать, т.е. ввести величины Х ₁= , Y ₁= , то r(Х, Y)= М (Х ₁ Y ₁). Если Х и Y независимы, то очевидно, что r(Х, Y)=0. Можно доказать, что

Часто приходится находить закон распределения случайной величины Y =y(Х) при известном законе распределения Х. Для дискретной случайной величины Х, принимающей значения х _i с вероятностями р_i, полагают, что Y =y(Х) принимает значения y_i=y(x _i) с теми же вероятностями р_i. При этом, если некоторым х _i будут соответствовать равные между собой значения y_i, то в ряде распределения случайной величины Y эти y_i записываются только один раз с вероятностью, равной сумме соответствующих вероятностей.

Пусть Х и Y – дискретные случайные величины, при этом Х принимает значения х _i с вероятностями Р (Х =х_i), а Y – значения y_j с вероятностями Р (Y =y_j). Тогда их сумма Х+Y, разность Х-Y, произведение XY соответственно принимают всевозможные значения х _i + y_j, х _i – y_j , х _i y_j с вероятностями р_ij, определяемыми формулой

р_ij = Р (Х = х _i) ´ (Y=y_j), (5.15)

а для независимых случайных величин – формулой

р_ij = Р (Х = х _i) ´ Р (Y =y_j). (5.16)

При этом, если при некоторых i и j величины х _i + y_j, х _i – y_j , х _i y_j примут равные значения, то соответствующая вероятность есть сумма вероятностей по этим индексам i, j.