Тема 3. Повторные независимые испытания

Определение повторных независимых испытаний. Формула Бернулли и ее следствия. Наивероятнейшая частота появления события и ее вычисление. Локальная теорема Муавра-Лапласа. Функция и ее свойства. Формула Пуассона и ее приложения. Интегральная теорема Муавра-Лапласа. Функция Лапласа и ее свойства. Вероятности отклонений частоты от наивероятнейшей частоты и относительной частоты от вероятности появления события.

 

Л и т е р а т у р а

 

[2], гл.1, § 3, гл.5, § 3-5; [3], гл.4; [5], гл.5, § 1-4, гл.6, § 5,6; [6], гл.1; [7], гл.5, 6; [8], гл.2, § 1-3; [9], гл.2, § 1-5; [11], гл.28, § 189-195; [12], ч.2, гл.2, § 5-8; [13], гл.20, § 8; [15], гл.4, § 1-3.

 

О с н о в н ы е ф о р м у л ы и м е т о д и ч е с к и е у к а з а н и я

Если производится n повторных независимых опытов, в каждом из которых появляется либо событие А с вероятностью р, либо событие с вероятностью q=1-р, то вероятность Р _n(m) того, что событие А появится ровно m раз, выражается формулой Бернулли

Р _n(m) = р^m q^n-m. (3.1)

Вероятность того, что А появится хотя бы один раз при n повторных независимых испытаниях, вычисляется по следующей формуле:

Р_n (m ³ 1) = 1 – qⁿ. (3.2)

Наивероятнейшая частота m₀ удовлетворяет неравенствам

np – q £ m₀ £ np + p. (3.3)

Если число np+p – целое, то наивероятнейшее число m₀ имеет только одно значение. Этим значением будет целая часть числа np+р. Если np+p – число дробное, то m₀ принимает два значения: m₀=np-q=np+p-1 и m₀=np+p. При достаточно большом числе проведенных испытаний m₀ примерно равно np (m₀ » np).

При большом числе испытаний для вычисления Р_n(m) применяются следующие приближенные равенства:

Р_n(m)» (3.4)

 

Р_n(m)» (3.5)

В литературе обычно имеются таблицы значений функции и выражения р(m, λ) = .

Вероятность того, что событие А наступит не менее k раз и не более r раз, находится по приближенной формуле

Р _n (k £ m £ r)» Ф - Ф , (3.6)

где Ф(х) = - функция Лапласа, для которой имеется таблица значений.

Формула (3.4) называется локальной теоремой Муавра-Лапласа, формула (3.6) – интегральной теоремой Муавра-Лапласа. Формулу (3.5) называют теоремой Пуассона.

Вероятности отклонений частоты m от наивероятнейшей частоты m₀ и относительной частоты W от постоянной вероятности р события А при достаточно больших n вычисляются, соответственно, по следующим приближенным формулам:

Р _n Ф , (3.7)

Р _n , (3.8)

где Ф(х) – функция Лапласа и - любое положительное число.

При n®¥ величина 2Ф Ф стремится к единице. Тогда событие практически достоверно. Если число достаточно мало, то за гипотетическую вероятность р события А можно принять относительную частоту W(А) = этого события. Величина , определяемая равенством Р _n , называется надежностью. Таким образом, надежность есть вероятность совпадения частоты W= и вероятности р появления события в отдельном испытании с точностью до : р= .

При практическом применении теории вероятностей часто встречаются задачи на повторение опытов (испытаний). Многие же задачи моделируются как задачи на повторные испытания. Решаются они просто в случае, когда опыты являются независимыми. В этом прежде всего и надо убедиться.

В каждом отдельном опыте появляется либо событие А, либо ему противоположное (в конкретной задаче эти события надо сразу описать). Если вероятность события А во всех опытах постоянна (опыт производится в одинаковых условиях, Р (А)=р, Р ()=qº1-р), то говорят, что имеет место схема Бернулли. Тогда Р _n(m) вычисляется по формуле (3.1).

Может быть и более общая схема: независимые опыты производятся в различных условиях (вероятность события А от опыта к опыту меняется). Имеется способ вычисления Р _n(m) и в этой ситуации (см., например, [3]).

Примерами независмых опытов являются: неоднократное бросание монеты (игральной кости), многократное извлечение карты из колоды (шара из урны, изделия из партии) при условии, что выбранный предмет возвращается.

Иногда допускают ошибку. В отборах без возвращения применяют биномиальное распределение (формулу Бернулли), на самом же деле надо применять гипергеометрическое распределение. Поясним это разбором задачи.

В урне находятся 5 белых и 10 черных шаров. Из урны наугад извлекли 3 шара. Какова вероятность того, что два из них окажутся белыми?

Решение (ошибочное). Обозначим через А событие, состоящее в том, что отдельно взятый шар будет белым. Тогда, согласно условию, за р принимают число : р= , q= . Далее, полагают n=3, m=2. Вероятность искомого события (два белых шара при вынутых трех) вычисляют по формуле Бернулли:

Р ₃(2) = .

 

Приведенное решение было бы верным, если бы опыты проводились в неизменных условиях. Для этого шары надо обратно возвращать в урну и перемешивать. По условию нашей задачи из урны вынули три шара (следовательно, они не возвращались). В этом случае уже нельзя говорить о неизменности условий всех трех опытов, так как после каждого извлечения состав шаров в урне будет меняться.

Для правильного решения применим классический способ подсчета вероятностей. Число возможных исходов будет , из них благоприятными для интересующего нас события будут исходов. Тогда искомая вероятность Р = .

Формула Бернулли (3.1) дает точное значение Р _n(m), однако для больших значений n и m появляются вычислительные трудности, прежде всего из-за выражения для . Поясним это примером. Пусть n=1000, m=25, р=0,03. Тогда согласно (3.1) надо вычислять выражение

Поэтому возникает необходимость в более простых формулах для Р _n(m). Таковыми являются формулы (но уже приближенные) (3.4) и (3.5).

Формула (3.4) дает тем более близкие к точному значению Р _n(m) результаты, чем больше значение . При этом здесь сказывается не только значение n, но и значение pq. Обычно формулой (3.4) пользуются, когда npq³20. Из этого ограничения видно, что чем ближе одно из чисел p или q к нулю (другое число будет близко к единице), тем большим надо брать n. Погрешность этой формулы порядка .

Найдем наибольшее значение выражения pqºр(1-р). Рассмотрим функцию f(р)=р(1-р)ºр-р², 0 £ р £ 1. Очевидно, что она достигает своего наибольшего значения при р= . Следовательно, при одних и тех же значениях n формула (3.4) дает тем лучшее приближение к значению Р _n(m) из формулы Бернулли, чем ближе pq к своему наибольшему значению 0,25, т.е. чем ближе р (отсюда и q) к 0,5.

В случае, если вероятность р близка к нулю и число n мало, формула (3.4) дает заметные отклонения от формулы Бернулли.

Асимптотическая формула (3.5) применяется для редких событий (со значениями р, близкими к нулю). Приближение тем лучше, чем больше n и меньше p. Обычно формулой (3.5) пользуются при условии =np£10. Погрешность формулы (3.5) np².

Задачи с редкими событиями встречаются на практике в лотереях, страховании, при проверке качества изделий с низким процентом брака, в медицине (рождение близнецов, заболевание редкой инфекционной болезнью) и т.п.

Если р близко к единице (например, р³0,97), то q близко к нулю (q£0,03). Тогда формулу Пуассона (3.5) можно применить для вычисления вероятности того, что произойдет n-m раз. Надо в (3.5) положить =nq, а вместо m написать n-m. Найденная вероятность даст приближенное значение вероятности того, что А произойдет ровно m раз.

Как уже отмечалось, для функций (х) и р(m, ) имеются таблицы. Так как (х) четна ( (- х)= (х)), то ее таблицы составлены для х ³ 0. При х >4 можно полагать (х)»0, так как (3,99)»0,0001 и (х) монотонно убывает при х >0. Если в таблице значений нет нужного аргумента, то можно провести либо округление этого аргумента до ближайшего, либо для нахождения значения функции воспользоваться методом (линейной) интерполяции.

Поясним метод линейного интерполирования для нашей ситуации. Аргумент , которого нет в таблице, будет заключен между некоторыми двумя аргументами х ₁ и х ₂, имеющимися в таблице (х ₁ < < х ₂). Соответствующие аргументам х ₁ и х ₂ значения y₁ и y₂ нашей функции будут даны в таблице: (х ₁)ºy₁, (х ₂)ºy₂. Тогда запишем уравнение прямой, проходящей через точки (х ₁, y₁) и (х ₂, y₂). Оно имеет вид

y-y₁= ; ограничение х ₁ ¹ х ₂ выполняется автоматически, т.к. х ₁< х ₂. Получилась линейная функция y= . Значение этой линейной функции в точке и принимают за приближенное значение неизвестного ().

В ряде учебников имеются таблицы значений функции р(m, )= для некоторых m и (см., например, [8], [11]). Иногда приводят (см.[3]) только значения (одного множителя нашей функции). Значения второго множителя при небольших значениях m легко вычислить.

Если число n независимых испытаний мало и надо вычислить вероятность появления события А от k до r раз, то надо применить следующую формулу: Р _n(k £ m £ r) = Р _n(m). В этой ситуации k и r не могут быть большими (мало n) и все Р _n(m) можно вычислить по формуле Бернулли. Приведенная формула есть следствие теоремы о вероятности суммы попарно несовместных событий.

Эту последнюю формулу можно применять и при достаточно большом числе испытаний, если в сумме справа число слагаемых невелико (мало число r-k). При этом для вычисления Р _n(m) при малых значениях р (р£0,03) надо применять приближенную формулу (3.5), а в остальных случаях – (3.4).

Если же число n велико и число слагаемых в сумме Р_n (m) велико, то применяется приближенная формула Муавра-Лапласа (3.6). Условием ее применения является неравенство npq ³ 20.

В этой формуле участвует функция Лапласа Ф(х), называемая еще интегралом вероятностей. Значения этой функции приводятся почти в каждом из рекомендуемых учебников. Только надо помнить, что в ряде учебников (см., например, [7], [8], [11]) эти значения удвоены. Тогда в (3.6) надо подставлять значения в два раза меньшие (можно также, не уменьшая этих значений, ввести справа в (3.6) множитель , относящийся к обоим слагаемым).

Таблицы Ф(х) приведены для х ³0. Для отрицательных аргументов значения этой функции находятся на основании ее свойства, что

Ф(- х) = -Ф(х). Например, Ф(-2) = -Ф(2)» -0,4 772 (см. [5], приложение 2). Далее, для х >5 приближенно полагают Ф(х)» , так как Ф(5)»0,499 997 и Ф(х)® при х ®+¥.

Сделаем некоторые пояснения по поводу формулы (3.8). Прежде всего она имеет теоретическое значение. Из нее следует так называемый закон больших чисел Бернулли, который будет рассмотрен в дальнейшем. Она объясняет, что статистическое определение вероятности события введено разумно.

Эта формула имеет значительные практические приложения. Зная р, n и e, из (3.8) находим надежность g. Если известны р, n и g, то можно найти точность e. Наконец, что очень важно на практике, можно по р, заданным e и g оценить число n (число испытаний, необходимых для какого-нибудь контроля). Более того, можно оценить n только при известных e и g (р- неизвестно).

Надежность g приближенно получается из равенства (3.8):

g = 2Ф . (3.9)

Обозначим через величину e :

 

= e . (3.10)

Решая уравнение (3.9) (g = 2Ф()), по таблице значений функции Лапласа Ф(х) найдем аргумент , соответствующий данной надежности g. Из (3.10) находится точность e при известных р, n и g:

e = .

Тогда с надежностью g определяются границы, в которых заключены частость и частота события в серии из n испытаний:

, .

Из (3.10) получается и формула для определения необходимого числа n испытаний при известных р, g, e:

.

Из последнего равенства при неизвестном р в силу оценки pq=p(1-p)£ получаем , т.е. достаточно провести n₀ испытаний для определения неизвестной вероятности р появления события с заданной точностью и надежностью.