Генеральная и выборочная совокупности.

При этом подлежащая изучению статистическая совокупность, из которой производится отбор части единиц, называется генеральной совокупностью. Отобранная из генеральной совокупности некоторая часть единиц, подвергающаяся обследованию, называется выборочной совокупностью, или просто выборкой. Основные характеристики параметров генеральной и выборочной совокупности обозначаются определёнными символами.

Символы основных характеристик параметров генеральной и выборочной совокупностей

Характеристики	Виды совокупностей
Генеральная	Выборочная
1. Объем совокупности (численность единиц)	N	n
2. Численность единиц, обладающих обследуемым признаком	M	m
3. Доля единиц, обладающих обследуемым признаком	p = M / N	w = m / n
4. Средний размер признака
5. Дисперсия количественного признака
6. Дисперсия доли

 

27,28 Средняя и предельная ошибки выборки. Методы определения ошибок выборки

Между характеристиками выборочной совокупности и искомыми характеристиками генеральной совокупности существует некоторое расхождение, называемое ошибкой выборки.

Классификация ошибок выборки

Признак классификации	Виды ошибок
Причины возникновения фактов	а) регистрации б) репрезентативности
Характер и степень влияния на конечные результаты	а) случайные б) систематические
Цели и источники происхождения	а) преднамеренные (злостные) б) непреднамеренные

После проведения отбора для определения возможных границ генеральных характеристик рассчитываются средняя и предельная ошибки выборки.

Применение выборочного метода связано с возникновением ошибок репрезентативности, которые представляют собой разность между обобщающими показателями генеральной выборочной совокупностей. Выборочная совокупность может формироваться разными методами. Может иметь место индивидуальный отбор (когда отбирается каждый раз одна единица совокупности) или серийный (отбор производится сериями, гнездами, упаковками и т.п., и в них обследуются все единицы).После обследования отобранные единицы могут быть возвращены в генеральную совокупность, где имеют одинаковую со всеми единицами вероятность вновь попасть в выборку – повторный отбор либо могут не участвовать в дальнейшем отборе – бесповторный отбор. Отбор может быть произведен собственно-случайным способом, механическим и типическим. При собственно-случайной выборке отбор производится жеребьевкой. Механический способ отбора используется в тех случаях, когда имеется возможность составить список единиц совокупности в порядке их естественного расположения (по алфавиту, по времени появления и т.п.). Отбор осуществляется механически – через определенный интервал.При типическом отборе обследуемая генеральная совокупность подразделяется на типические группы, из которых затем отбирается определенное число единиц так, чтобы сохранить в выборе структуру генеральной совокупности. Ошибки репрезентативности могут быть рассчитаны как средняя или стандартная (μ) и максимальная с определенной вероятностью – предельная (). Средняя ошибка выборки для собственно случайного и механического способа. При повторном методе отбора .При бесповторном методе отбора ,где - дисперсия выборочных данных; n – объем выборки; N – объем генеральной совокупности.

Средняя ошибка типического отбора.

При повторном методе отбора .

При бесповторном методе отбора

где - средняя из групповых вариаций в выборке по типическим группам.

Средняя ошибка при отборе сериями (серийная выборка).

При повторном отборе .

При бесповторном отборе ,

где - межгрупповая вариация; s – количество отобранных серий; S – количество серий в генеральной совокупности.

Предельная ошибка выборки () связана со средней ошибкой и коэффициентом доверия (t)

.

Коэффициент доверия зависит от вероятности, с которой можно гарантировать определенные размеры предельной ошибки:

Коэффициент доверия (t)
Вероятность F(t)	0,683	0,954	0,997

Обобщающая характеристика в генеральной совокупности () определяется доверительным интервалом, уточнение обобщающей характеристики выборочной совокупности () на предельную ошибку выборки:

или с заданной вероятностью.

Приведенные выше формулы ошибок выборки позволяют заранее рассчитать тот объем выборки (репрезентативная выборка), при котором отклонение выборочных показателей от генеральных не превысит заданных размеров, гарантируемых с определенной вероятностью.

Репрезентативная выборка (n).

При повторном отборе .

При бесповторном отборе .

При определении необходимой численности выборки для определения дисперсии используют данные предыдущих обследований. При полном отсутствии каких-либо данных о вариации задают максимальную величину дисперсии: для количественного признака

.

Для альтернативного признака .

Малой выборкой называют выборку, объем которой не превышает 20 единиц ().

Средняя ошибка малой выборки () определяется по формуле

.

Для увязки средней и предельной ошибок малой выборки используется коэффициент распределения Стьюдента (псевдоним В. Госсета)

,

где - коэффициент Стьюдента, определяемый по распределению Стьюдента в зависимости от n.

Вероятность того, что характеристика генеральной совокупности не выйдет за пределы , с распределением Стьюдента связана следующим образом:

.

Последняя формула применяется для нахождения пределов генеральной средней с заданной вероятностью.

 

 

29 Методы определения тесноты связи корреляционной связи (параметрические и непараметрические методы оценки).

Корреляционная связь - это связь, где воздействие отдельных факторов проявляется только как тенденция (в среднем) при массовом наблюдении фактических данных. Примерами корреляционной зависимости могут быть зависимости между размерами активов банка и суммой прибыли банка, ростом производительности труда и стажем работы сотрудников.

Методы оценки тесноты связи подразделяются на корреляционные (параметрические) и непараметрические. Параметрические методы основаны на использовании, как правило, оценок нормального распределения и применяются в случаях, когда изучаемая совокупность состоит из величин, которые подчиняются закону нормального распределения. На практике это положение чаще всего принимается априори. Собственно, эти методы – параметрические – и принято называть корреляционными.

Непараметрические методы не накладывают ограничений на закон распределения изучаемых величин. Их преимуществом является и простота вычислений.

Наиболее простым вариантом корреляционной зависимости является парная корреляция, т.е. зависимость между двумя признаками (результативным и факторным или между двумя факторными). Математически эту зависимость можно выразить как зависимость результативного показателя у от факторного показателя х. Связи могут быть прямые и обратные. В первом случае с увеличением признака х увеличивается и признак у, при обратной связи с увеличением признака х уменьшается признак у.

Важнейшей задачей является определение формы связи с последующим расчетом параметров уравнения, или, иначе, нахождение уравнения связи (уравнения регрессии).

Могут иметь место различные формы связи:

прямолинейная

криволинейная в виде:

параболы второго порядка (или высших порядков)

гиперболы

показательной функции

(8.4)

и т.д.

Параметры для всех этих уравнений связи, как правило, определяют из системы нормальных уравнений, которые должны отвечать требованию метода наименьших квадратов (МНК):

(8.5)

Если связь выражена параболой второго порядка (), то систему нормальных уравнений для отыскания параметров a₀, a₁, a₂ (такую связь называют множественной, поскольку она предполагает зависимость более чем двух факторов) можно представть в виде

(8.6)

Другая важнейшая задача - измерение тесноты зависимости - для всех форм связи может быть решена при помощи вычисления эмпирического корреляционного отношения :

(8.7)

где - дисперсия в ряду выравненных значений результативного показателя ; - дисперсия в ряду фактических значений у.

Для определения степени тесноты парной линейной зависимости служит линейный коэффициент корреляции r, для расчета которого можно использовать, например, две следующие формулы:

(8.8)

Линейный коэффициент корреляции может принимать значения в пределах от -1 до + 1 или по модулю от 0 до 1. Чем ближе он по абсолютной величине к 1, тем теснее связь. Знак указывает направление связи: «+» - прямая зависимость, «-» имеет место при обратной зависимости.

Непараметрические показатели связи

В статистической практике могут встречаться такие случаи, когда качества факторных и результативных признаков не могут быть выражены численно. Поэтому для измерения тесноты зависимости необходимо использовать другие показатели. Для этих целей используются так называемые непараметрические методы.

Наибольшее распространение имеют ранговые коэффициенты корреляции, в основу которых положен принцип нумерации значений статистического ряда. При использовании коэффициентов корреляции рангов коррелируются не сами значения показателей х и у, а только номера их мест, которые они занимают в каждом ряду значений. В этом случае номер каждой отдельной единицы будет ее рангом.

Коэффициент корреляции рангов Спирмэна (р) основан на рассмотрении разности рангов значений результативного и факторного признаков и может быть рассчитан по формуле

(8.9)

где d = N_x - N_y, т.е. разность рангов каждой пары значений х и у; n - число наблюдений.

Ранговый коэффициент корреляции Кендэла () можно определить по формуле

(8.10)

где S = P + Q.

К непараметрическим методам исследования можно отнести коэффициент ассоциации К_ас и коэффициент контингенции К_кон, которые используются, если, например, необходимо исследовать тесноту зависимости между качественными признаками, каждый из которых представлен в виде альтернативных признаков.

Здесь а, b, c, d - частоты взаимного сочетания (комбинации) двух альтернативных признаков ; n - общая сумма частот.

Коэффициент ассоциации можно расcчитать по формуле

(8.11)

Коэффициент контингенции рассчитывается по формуле

(8.12)

Нужно иметь в виду, что для одних и тех же данных коэффициент контингенции (изменяется от -1 до +1) всегда меньше коэффициента ассоциации.

Если необходимо оценить тесноту связи между альтернативными признаками, которые могут принимать любое число вариантов значений, применяется коэффициент взаимной сопряженности Пирсона (К_П).

Коэффициент взаимной сопряженности Пирсона определяется по формуле

(8.13)

где - показатель средней квадратической сопряженности:

Коэффициент взаимной сопряженности изменяется от 0 до 1.

Наконец, следует упомянуть коэффициент Фехнера, характеризующий элементарную степень тесноты связи, который целесообразно использовать для установления факта наличия связи, когда существует небольшой объем исходной информации. Данный коэффициент определяется по формуле

(8.14)

где n_a - количество совпадений знаков отклонений индивидуальных величин от их средней арифметической; n_b - соответственно количество несовпадений.

Коэффициент Фехнера может изменяться в пределах -1,0 К_ф +1,0.