Характеристики случайных величин и процессов

Кратко остановимся на основных характеристиках случайных величин и процессов.

Случайная величина может быть непрерывной и дискретной.

Случайным процессом называется изменение случайной величины во времени.

Важное значение при описании случайных величин и процессов имеет понятие вероятности. Вероятность – это предельное значение частоты появления события

,

где n – число появлений события в испытаниях;

N – общее число испытаний.

Полное описание случайной величины дает закон распределения вероятности P (х) для дискретной величины и закон распределения плотности вероятности W (х) для непрерывной величины. Соотношение между этими параметрами представлено на рис. 67.

Часто при анализе случайных величин и процессов ограничиваются частными характеристиками. Как правило, это математическое ожидание и дисперсия D.

 

Рис. 67. Плотность вероятности и вероятность для непрерывной величины

Математическое ожидание можно определить как среднее значение, а дисперсию – как средний разброс значений случайной величины относительно ее математического ожидания. Для непрерывной величины справедливы выражения

– математическое ожидание;

– дисперсия.

Важное значение в теории случайных процессов имеет понятие корреляционной функции R. Она показывает степень влияния друг на друга или двух случайных процессов, или различных значений одного случайного процесса. В последнем случае для моментов времени t ₁ и t ₂ имеем

,

где W ₂ – это двумерная плотность распределения вероятности для процессов x ₁ и x ₂.

Существует широкий класс стационарных случайных процессов. У этих процессов постоянные вероятностные параметры.

Поэтому корреляционная функция в данном случае будет зависеть только от расстояния между отсчетами t = t ₁ – t ₂,. Она обычно обозначается как R (t).

Свойства корреляционной функции (рис. 68):

1) четная R (–t) = R (t);

2) убывающая;

3) если t = 0, то R (t) = D (дисперсия).

В теории случайных процессов широко используется понятие спектральной плотности. Существует простая связь между спектральной плотностью и корреляционной функцией через преобразование Фурье:

;

.

 

 

Рис. 68. Корреляционная функция

Если корреляционная функция и спектральная плотность – вещественные четные функции, то

;

.

Чем шире спектр случайного сигнала (сигнал быстрее изменяется), тем ýже корреляционная функция (слабее влияние соседних значений сигнала друг на друга) и наоборот. Предельное соотношение для сигнала типа шум – соседние значения сигнала не зависят друг от друга.

12.3. Прохождение случайного сигнала
через линейную непрерывную систему

Структурная схема САУ имеет вид (рис. 69).

 

 

Рис. 69. Структура САУ

Задачу можно сформулировать следующим образом: зная вероятностные характеристики входного сигнала x ₁(t) (матожидание и дисперсию D ₁), надо определить вероятностные характеристики выходного сигнала x ₂(t) (матожидание и дисперсию D ₂).

Существует два метода решения этой задачи:

1) расчеты во временной области;

2) расчеты в частотной области.

1. Расчеты во временной области.

Рассмотрим математические соотношения для каждого метода.

Для определения математического ожидания используется формула свертки, в которую вместо значений сигналов нужно подставить значения их математических ожиданий.

,

где w(t) – весовая функция.

Для нахождения дисперсии на выходе предварительно необходимо найти корреляционную функцию. Корреляционная функция на выходе:

,

где h и l – переменные интегрирования

При подстановке t = t ₁ получим выражение для дисперсии.

Если САУ устойчива, то корреляционная функция и дисперсия стремятся к некоторым пределам, определяющим стационарный процесс на выходе.

Рассмотрим пример.

Имеется интегрирующее звено с передаточной функцией и весовой функцией ;

На вход подается белый гауссовский шум (БГШ) с характеристиками (рис. 70).

«Белый» шум означает равномерное распределение спектральной плотности N _Ш во всем диапазоне частот. «Гауссовский» – плотность распределения вероятности имеет нормальный закон. Корреляционная функция шума , матожидание шума .

В результате матожидание на выходе , а дисперсия

.

 

а) б)

Рис. 70. Характеристики БГШ
а) корреляционная функция; б) спектральная плотность

 

Анализ последнего выражения показывает, что дисперсия на выходе растет пропорционально времени и стремится к бесконечности. Это легко объяснить, если вспомнить, что данное звено является неустойчивым.

2. Расчеты в частотной области.

Более удобно для расчета параметров случайного сигнала на выходе пользоваться спектральными характеристиками.

Спектральную плотность на входе и выходе САУ можно определить через изображение Фурье входного S ₁(w) и выходного S ₂(w) сигналов

;

.

С другой стороны, для линейной САУ известно соотношение через частотную передаточную функцию:

.

Отсюда:

;

.

Строго говоря, такой подход справедлив, если закон распределения случайной величины при прохождении через систему не меняется. Это выполняется в случае нормального закона распределения случайной величины. Плотность распределения вероятности этого закона

,

где s – среднеквадратичное отклонение, а график представлен на рис. 71.

 

 

Рис. 71. Нормальный закон распределения случайной величины