Расчет установившейся ошибки САУ

Замкнутая система может находиться под воздействием случайного задающего сигнала g (t), и случайной помехи f (t), приложенной в произвольной точке системы (рис. 72).

Корреляционные функции и спектральные плотности и полезного сигнала и помехи известны. Конечная цель – нахождение корреляционной функции и спектральной плотности ошибки x (t) и выходного сигнала y (t).

 

Рис. 72. Случайный задающий сигнал и случайная помеха в САУ

Обычно ограничиваются более узкой задачей: нахождением среднеквадратичной ошибки (СКО) системы управления.

Возможны следующие случаи.

1. Имеется входной сигнал g (t) – случайный стационарный процесс. Помеха f (t) = 0.

Тогда спектральная плотность ошибки

,

где – передаточная функция замкнутой системы по ошибке.

СКО будет равно

.

2. Имеется помеха f (t), задающее воздействие g (t) = 0. Справедливы соотношения

;

.

Если же помеха действует на входе системы, то расчет СКО аналогичен первому случаю.

3. Имеется и сигнал и помеха.

Общее выражение для спектральной плотности ошибки

,

где S_fg (w)и S_gf (w) – взаимные спектральные плотности сигнала и помехи; знак «*» показывает сопряженную комплексную величину.

Если корреляции между сигналом и помехой нет, третье и четвертое слагаемые в выражении равны нулю.

Аналогичным образом можно найти и параметры для выходного сигнала y (t). При этом необходимо использовать частотную передаточную функцию замкнутой системы

.

Расчеты по минимуму ошибки

Если на систему одновременно действует полезный сигнал и помеха, то может быть решена задача оптимального расчета системы с тем, чтобы обеспечить наименьшую результирующую ошибку системы.

Критерием является минимальное значение результирующей ошибки системы, определяемой сигналом и помехой. Для случайных процессов обычно ограничиваются оценкой среднеквадратической ошибки. Необходимо обеспечить минимум среднеквадратической ошибки при одновременном действии сигнала и помехи.

Критерий выглядит следующим образом:

.

Нежелательность ошибки пропорциональна квадрату ее величины.

Возможны две формулировки данной задачи.

1. Имеется САУ заданной структуры. Необходимо так выбрать ее параметры, чтобы обеспечить минимум СКО при заданных статистических параметрах сигнала и ошибки.

Решение ищется следующим образом: зная спектральную плотность ошибки, теоретически находится выражение для расчета дисперсии и СКО. Это выражение зависит от параметров системы, полезного сигнала и помехи. Ищутся условия на параметры системы для обеспечения минимума дисперсии. В простых случаях можно применить известные методы нахождения экстремума функции путем дифференцирования и приравнивания к нулю частных производных.

2. Ставится вопрос о нахождении оптимальной структуры системы и параметров звеньев для получения теоретически минимальной среднеквадратической ошибки при заданных вероятностных характеристиках полезного сигнала и помехи.

Решение следующее: находится теоретическая передаточная функция замкнутой системы, и к ней стремятся при проектировании. Возможна ситуация, что реализация САУ с такой оптимальной передаточной функцией будет сопряжена со значительными трудностями.

Нелинейные САУ

Анализ нелинейных САУ (НСАУ) представляет собой достаточно трудную задачу. При ее решении стремятся свести такую САУ к линейной с определенными допущения и ограничениями.

К таким системам относятся те, в которых имеется хотя бы одно звено, описываемое нелинейными дифференциальными уравнениями.

Нелинейные звенья могут быть следующих видов:

- релейного типа;

- с кусочно-линейной характеристикой;

- с криволинейной характеристикой любого очертания;

- имеется произведение и другие комбинации переменных;

- нелинейное звено с запаздыванием;

- импульсное звено;

- логическое;

- описываемое кусочно-линейным дифференциальным уравнением.

Нелинейности могут быть статические и динамические. Статические описываются нелинейными статическими характеристиками, а динамические – нелинейными дифференциальными уравнениями.