Достаточные условия эргодичности



Мы поможем в написании ваших работ!


Мы поможем в написании ваших работ!



Мы поможем в написании ваших работ!


ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Достаточные условия эргодичности



Теорема 1. Стационарный случайный процессССП X(t) эргодичен относительно

математического ожидания, еесли его корреляционная функция

стремится к нулю при τ→∞;

и при этом: .

 

Теорема 2. Стационарный случайный процессССП X(t) эргодичен относительно

дисперсии, если корреляционная функция стационарного слу-

чайного процесса ССП Y(t)=X2(t) стремится к нулю0 при τ→∞;

при этом:

 

Теорема 3. Стационарный случайный процесс ССП X(t) эргодичен относительно

корреляционной функции, если стремится к нулю при τ→∞ кор-

реляционная функция стационарного случайного процессаССП

Z(t, τ)= ;(X(t+τ)-mx) стремится к нулю при τ→∞.

пПри этом:

 

При практических расчетах интервал (0;Т) разбивается на n равных частей в каждом промежутке выбирается точка ti(например, середина).

Если ограничиться формулой прямоугольников, получаем

 

 

m=0, 1, 2, …, n-1.

Пример 14. X(t) – эргодический стационарный случайный процессССП,: V – случайная величинаСВ, имеющая математическое ожидание mvmv и дисперсию Dv (Dv≠0); . X(t)и V независимы. Исследовать на эргодичность случайный процессСП Y(t): Y(t)=X(t)+V, если X(t)и V независимы..

 

Решение.

Так как случайный процессСП X(t) и случайная величинаСВ V независимы, то

mY(t)=mX(t)+mv; k KY(τ)=kKX(τ)+Dv.

При этом

Следовательно, случайный процессСП Y(t) не является эргодичным по математическому ожиданию; то есть наложение на эргодический случайный процессСП независимой случайной величиныСВ разрушает эргодичность.

 

Пример 15. Рассматривается простейший поток событий с интенсивностью λ. Случайный процесс X(t) принимает значения +а и –а (а>0);, при этом X(t) скачком меняет свое состояние с +а на –а или наоборот в момент наступления очередного события в потоке. Найти характеристики случайного процессаСП X(t).

 

Решение.

ППо смыслу задачи события в потоке

происходят в произвольные моментты

времени (см. рис.), поэтому для любого

значения t с равной вероятностью ½ СП

X(t) может принимать значения и +а, и –а;

Поэтому одномерный закон распределе-

ния каждого сечения очевиден (см. таб-

лицу).

Получаем

 

mMxХ(t)=-a·0,5+a·0,5=0;

DxХ(t)=(-a)2·0,5+a2·0,5=a2.

 

X(t) -a +a
P 0,5 0,5

 

 

Корреляционная функция имеет вид:

KX(t1;t2)=M((X(t1)-mX)×(X(t2)-mX))=

=M(X(t1)X(t2)).

Произведение X(t1)X(t2) может принимать только два значения:

1) –а2, если в интервале (t1, t2) в простейшем потоке произошло нечетное число событий;

2) а2, если в интервале (t1, t2) в потоке происходит четное число событий.

Вероятность kК событий на временном промежутке τ=t2-t1 (τ≥0) в простейшем потоке с интенсивностью λ находится по формуле Пуассона:

Поэтому полная вероятность всех четных kK имеет вид:

Получаем следующее значение корреляционной функции:

(τ≥0).

Окончательно,

kKX(τ)→0 при τ→∞,

то есть случайный процессСП X(t) стационарен и эргодичен.

 

Пример 16. По заданной реализации эргодического случайного процесса X(t) найти приближенные значения его характеристик.

Решение.

Временной интервал (0;20) разобьем на 10 интервалов точками

0, 2, 4,…, 20. В качестве расчетных моментов времени выбираем середины полученных интервалов:

i
ti
X(ti) -2 -3 -2 -1
X2(ti)

 

Математическое ожидание:

Дисперсия:

Корреляционная функция:

m=0: k KX(0)≈DX=6,65

m=1:

m=2:

m=3:

m=4:

m=5:

m=6: =

m=7:

m=8:

m=9:

 

 

Глава 6. Спектральная теория стационарных случайных

Процессов

ССП

Понятие спектрального разложения стационарного случайного

ПроцессаССП. Дискретные и непрерывные спектры.

Спектральная плотность и ее свойства

 

Элементарный стационарный случайный процессСП

Случайный процесс X(t) вида

X(t)=Ucosωt+Vsinωt,

где U и V – центрированные некоррелированные случайные величиныСВ; DU=DV=σ2, ω – const; называется элементарным стационарным случайным процессомСП.

Как следует из Примера 11,

mX(t)=0; KX(t1;t2)=kKX(τ)=σ2cosωτ, τ=t2-t1; DX(t)=σ2,

следовательно, X(t) – стационарный в широком смысле случайный процессСП. Часто его записывают в виде гармоники

,

со случайной амплитудой , случайной фазой ωt+arctgU/V и частотой ω.

 

Сумма конечного числа гармоник

где Up и Vp – центрированные некоррелированные случайные величиныСВ; DUp=-DVp= .

Легко показать, что

mX(t)=mX;

 



Последнее изменение этой страницы: 2016-04-23; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.236.117.38 (0.007 с.)