Достаточные условия эргодичности

Теорема 1. Стационарный случайный процессССП X(t) эргодичен относительно

математического ожидания, еесли его корреляционная функция

стремится к нулю при τ→∞;

и при этом: .

 

Теорема 2. Стационарный случайный процессССП X(t) эргодичен относительно

дисперсии, если корреляционная функция стационарного слу-

чайного процесса ССП Y(t)=X²(t) стремится к нулю0 при τ→∞;

при этом:

 

Теорема 3. Стационарный случайный процесс ССП X(t) эргодичен относительно

корреляционной функции, если стремится к нулю при τ→∞ кор-

реляционная функция стационарного случайного процессаССП

Z(t, τ)= ;(X(t+τ)-mx) стремится к нулю при τ→∞.

пПри этом:

 

При практических расчетах интервал (0;Т) разбивается на n равных частей в каждом промежутке выбирается точка t_i(например, середина).

Если ограничиться формулой прямоугольников, получаем

 

 

m=0, 1, 2, …, n-1.

Пример 14. X(t) – эргодический стационарный случайный процессССП,: V – случайная величинаСВ, имеющая математическое ожидание mvm_v и дисперсию D_v (D_v≠0);. X(t)и V независимы. Исследовать на эргодичность случайный процессСП Y(t): Y(t)=X(t)+V, если X(t)и V независимы..

 

Решение.

Так как случайный процессСП X(t) и случайная величинаСВ V независимы, то

m_Y(t)=m_X(t)+m_v; k K_Y(τ)=kK_X(τ)+D_v.

При этом

Следовательно, случайный процессСП Y(t) не является эргодичным по математическому ожиданию; то есть наложение на эргодический случайный процессСП независимой случайной величиныСВ разрушает эргодичность.

 

Пример 15. Рассматривается простейший поток событий с интенсивностью λ. Случайный процесс X(t) принимает значения +а и –а (а>0);, при этом X(t) скачком меняет свое состояние с +а на –а или наоборот в момент наступления очередного события в потоке. Найти характеристики случайного процессаСП X(t).

 

Решение.

ППо смыслу задачи события в потоке

происходят в произвольные моментты

времени (см. рис.), поэтому для любого

значения t с равной вероятностью ½ СП

X(t) может принимать значения и +а, и –а;

Поэтому одномерный закон распределе-

ния каждого сечения очевиден (см. таб-

лицу).

Получаем

 

mM_xХ(t)=-a·0,5+a·0,5=0;

D_xХ(t)=(-a)²·0,5+a²·0,5=a².

 

X(t)	-a	+a
P	0,5	0,5

 

 

Корреляционная функция имеет вид:

K_X(t₁;t₂)=M((X(t₁)-m_X)×(X(t₂)-m_X))=

=M(X(t₁)X(t₂)).

Произведение X(t₁)X(t₂) может принимать только два значения:

1) –а², если в интервале (t₁, t₂) в простейшем потоке произошло нечетное число событий;

2) а², если в интервале (t₁, t₂) в потоке происходит четное число событий.

Вероятность k К событий на временном промежутке τ=t₂-t₁ (τ≥0) в простейшем потоке с интенсивностью λ находится по формуле Пуассона:

Поэтому полная вероятность всех четных kK имеет вид:

Получаем следующее значение корреляционной функции:

(τ≥0).

Окончательно,

kK_X(τ)→0 при τ→∞,

то есть случайный процессСП X(t ) стационарен и эргодичен.

 

Пример 16. По заданной реализации эргодического случайного процесса X(t) найти приближенные значения его характеристик.

Решение.

Временной интервал (0;20) разобьем на 10 интервалов точками

0, 2, 4,…, 20. В качестве расчетных моментов времени выбираем середины полученных интервалов:

i
ti
X(ti)						-2	-3	-2	-1
X2(ti)

 

Математическое ожидание:

Дисперсия:

Корреляционная функция:

m=0: k K_X(0)≈D_X=6,65

m=1:

m=2:

m=3:

m=4:

m=5:

m=6: =

m=7:

m=8:

m=9:

 

 

Глава 6. Спектральная теория стационарных случайных

Процессов

ССП

Понятие спектрального разложения стационарного случайного

ПроцессаССП. Дискретные и непрерывные спектры.

Спектральная плотность и ее свойства

 

Элементарный стационарный случайный процессСП

Случайный процесс X(t) вида

X(t)=Ucosωt+Vsinωt,

где U и V – центрированные некоррелированные случайные величиныСВ; DU=DV=σ², ω – const; называется элементарным стационарным случайным процессомСП.

Как следует из Примера 11,

m_X(t)=0; K_X(t₁;t₂)=kK_X(τ)=σ²cosωτ, τ=t₂-t₁; D_X(t)=σ²,

следовательно, X(t) – стационарный в широком смысле случайный процессСП. Часто его записывают в виде гармоники

,

со случайной амплитудой , случайной фазой ωt+arctgU/V и частотой ω.

 

Сумма конечного числа гармоник

где U_p и V_p – центрированные некоррелированные случайные величиныСВ; DU_p=-DV_p= .

Легко показать, что

m_X(t)=m_X;