Среднеквадратическоие отклонениея.



Мы поможем в написании ваших работ!


Мы поможем в написании ваших работ!



Мы поможем в написании ваших работ!


ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Среднеквадратическоие отклонениея.



Если в каждом сечении случайного процесса существует математическое ожидание, то математическим ожиданием случайного процесса X(t) называется неслучайная функция mxX(t), значение которой при каждом фиксированном значении t равно математическому ожиданию соответствующего сечения:

mxX(t)=MX(t).

Основные свойства математического ожидания случайного процесса: если φ(t) - неслучайная функция, то

М φ(t)=φ(t); М(φ(t)×X(t))=φ(t)×mxX(t);

M(X1(t)+X2(t))= mx1(t)+mx2(t); M(X(t)+φ( t))= mxX(t)+ φ(t).

Если в каждом сечении случайного процесса существует дисперсия, то дисперсией случайного процесса X(t) называется неслучайная функция DxХ(t), значение которой при каждом фиксированном значении аргумента t равно дисперсии соответствующего сечения:

DxX(t)= DХ(t)= M(X(t)-+mxX( t))2.

 

Основные свойства дисперсии случайного процесса:

если φ(t) - неслучайная функция, то

D(φ(t))=0; D(φ(t)×X(t))=φ2(t)×DxX(t);

D(X(t)+φ(t))=DxX(t); .

 

Среднеквадратическим отклонением случайного процесса X(t) называется арифметический квадратный корень из его дисперсии:

.

Корреляционная функция случайного процесса и ее свойства.

Нормированная корреляционная функция

Корреляционной функцией случайного процесса X(t) называется неслучайная функция KxX(t1; t2) двух независимых аргументов, значение которой равно корреляционному моменту сечений, соответствующих моментам времени t1 и t2:

KxX(t1; t2)=M((X(t1)-mxX(t1))×(X(t2)-mxX(t2))).

 

Основные свойства корреляционной функции:

2) KxX(t; t)=DxX(t);

3) KxX(t1; t2)= KxX(t2; t1);

 

4) если φ(t) - неслучайная функция, то

 

Kφ(t)(t1; t2)=0; Kφ(t)+-xX(t)(t1; t2)= Kx(X(t)(t1; t2);

Kφ(t)×Xx(t)(t1; t2)= φ(t1)× φ(t2)×KxX(t)(t1; t2);

 

5)

6)

Функция вида

Называется нормированной корреляционной функцией.

Взаимная корреляционная функция и нормированная взаимная

Корреляционная функция двух случайных процессов

Взаимной корреляционной функцией двух случайных процессов X(t) и Y(t) называют неслучайную функцию RxXYy(t1; t2) двух независимых аргументов t1 и t2, значение которой равно корреляционному моменту сечений этих случайных процессов в соответствующие моментыпромежутки времени:

RxXYy(t1; t2)= M((X(t1)-mxX(t1))×*(Y(t2)-mmyY(t2))).

 

Свойства взаимной корреляционной функции:

если φ(t) и Ψ(t) - неслучайные функции, то

RxX(t)+φ(t) yY(t)+Ψ(t)(t1; t2)= RxXYy(t1; t2);

RxX(t)×*φ(t) yY(t)×*Ψ(t)(t1; t2)= φ(t1)× Ψ(t2)×RxXYy(t1; t2);

RxXYy(t1; t2)=RyYXx(t21; t1 t);

 

Функция вида

Называется нормированной взаимной корреляционной функцией случайных процессов X(t) и Y(t).

 

Вероятностные характеристики суммы двух случайных величин

Теорема 1. Математическое ожидание суммы двух случайных процессов

X(t) и Y(t) равно сумме их математических ожиданий:

m

mx+X+Yy(t)= mX(t)mx(t)+myY(t).

 

Теорема 2. Корреляционная функция суммы двух случайных процессов

 

X(t) и Y(t) имеет вид:

KxX+Yy(t1; t2)=KxX(t1; t2)+KyY(t1; t2)+RxXYy(t1; t2)+RyYXx(t2; t1 t1).

).

 

Следствие 1. Если случайные процессы X(t) и Y(t) нек коррелированны, то

KxX+Yy(t1; t2)=KxX(t1; t2)+KyY(t1; t2); DxX+Yy(t)=DxX(t)+DyY(t).

 

 

Следствие 2. Если случайный процесс X(t) и случайная величина Y

некне

коррелированны, то

KxX+Yy(t1; t2)=KxX(t1; t2)+DyY.

 

Пример 3. Рассматривается случайный процесс Y(t)=X×e-t (t≥0), где X - нормально распределенная с параметрами m и σ случайная величина. Найти математическое ожидание, дисперсию, корреляционную и нормированную корреляционные функции, одномерную плотность распределения.

 

 

Решение.

Математическое ожидание: mY(t)=M(Xe-t)=e-tmX=me-t.

Дисперсия: DY(t)=D(Xe-t)=e-2t DX=σ2e-2t.

Стандартное отклонение:

Корреляционная функция: KY(t1; t2)=M((X e-t1-m e-t1)×(X e-t2-m e-t2))=

= e-(t1+t2) M(X-m)22 e-(t1+t2).

Нормированная корреляционная функция:

По условию задачи случайная величина X распределена нормально; при фиксированном значении t сечение Y(t) линейно зависит от случайной величины X, и по свойству нормального распределения сечение Y(t) также распределено нормально с одномерной плотностью распределения:

 

Пример 4. Найти основные характеристики случайного процесса Y(t)=W×e-Ut (t>0), где W и U - независимые случайные величины; U распределена равномерно на отрезке [0; а]; W имеет математическое ожидание mW и стандартное отклонение σW.

 

Решение.

Математическое ожидание: mY(t)=M(We-Ut)=MW×M(e-Ut)=mw×*M(e-Ut);

, (t>0).

Корреляционная функция:

так как

то

Дисперсия:

 

 

Пример 5. Найти одномерный закон распределения случайного процесса: Y(t)=Vcos(Ψt-U), где V и U независимые случайные величины; V нормально распределена с параметрами (mV; σV); Ψ-const; U- равномерно распределена на отрезке [0; 2π].

 

Решение.

Математическое ожидание случайного процесса Y(t):

Дисперсия:

Стандартное отклонение:

Переходим к выводу одномерного закона распределения. Пусть t-фиксированный момент времени, и случайная величина U принимает фиксированное значение U=u - const; u [0; 2π], тогда получаем следующие условные характеристики случайного процесса Y(t):

M(Y(t)| U=u)=mV×cos(Ψt-u);

D(Y(t)| U=u)= ×cos2(Ψt-u);

σ(Y(t)| U=u)= ×|cos(Ψt-u)|.

Так как случайная величина V распределена нормально и при заданном значении случайной величины U=u все сечения линейно зависимы, то условное распределение в каждом сечении является нормальным и имеет следующую плотность:

Безусловная одномерная плотность случайного процесса Y(t):

Очевидно, что это распределение уже не является нормальным.

 



Последнее изменение этой страницы: 2016-04-23; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.233.219.62 (0.02 с.)