Свойства согласованных фильтров

1. Импульсная характеристика СФ является «зеркальным отражением» сигнала, с которым он согласован, относительно момента времени 0,5 t ₀ (с точностью до постоянного коэффициента)

.

Это свойство было положено в основу определения СФ (6.15).

 

2. Передаточная функция СФ

.

После замены t ₀ – t = t, t = t ₀ – t, dt = – d t, при t ® ¥ t ® -¥

.

Таким образом, передаточная функция СФ с точностью до множителя совпадает с сопряженной спектральной функцией сигнала, с которым он согласован

.

Амплитудно-частотная характеристика СФ

с точностью до коэффициента а повторяет амплитудный спектр сигнала, с которым он согласован

Фазо-частотная характеристика СФ

отличается знаком от фазового спектра сигнала, с которым он согласован (без учета слагаемого –ω t ₀).

 

3. Форма отклика СФ на «свой» сигнал (сигнал с которым он согласован)

.

Учитывая, что из (6.15) вытекает , получим

.

Таким образом, отклик СФ на «свой» сигнал с точностью до коэффициента совпадает с его корреляционной функцией, смещенной по оси времени на интервал t ₀ (рис. 6.7)

.

 

Из полученного результата вытекают следующие выводы:

· Отклик СФ на «свой» сигнал с точностью до постоянного коэффициента совпадает с его корреляционной функцией.

· Длительность отклика на «свой» сигнал всегда равна 2 Т.

· СФ не восстанавливает форму сигнала, искаженного шумом. Его задача создать один отсчет y (t ₀), по которому можно наилучшим образом судить о присутствии на входе «своего» сигнала.

 

4. СФ обеспечивает наибольшее отношение сигнал/шум (с/ш) на своем выходе при действии на входе аддитивной смеси «своего» сигнала и центрированного нормального белого шума со спектральной плотностью мощности N=N _О/2.

Докажем это, уточнив предварительно, что под отношением с/ш на выходе СФ понимают отношение математического ожидания отсчета случайной реакции СФ Y (t) в момент времени t ₀ = T к корню из ее дисперсии

. (6.16)

Рассмотрим произвольный линейный фильтр с передаточной функцией . Поскольку представляет собой отсчет реакции y_s (T) на математическое ожидание воздействия, каковым является сигнал s (t), то

.

Полученное выражение представляет собой не что иное, как скалярное произведение двух векторов в комплексном пространстве Гильберта, если иметь в виду следующие соответствия:

.

Вычислим дисперсию случайной величины

Подставляя полученные результаты в выражение (6.16) и применяя неравенство Коши-Буняковского-Шварца

,

имеем

.

Наибольшее значение с/ш (равенство в полученном выражении) достигается при совпадении векторов , т. е. для случая использования СФ, что и требовалось доказать. Это чрезвычайно важное свойство некоторые авторы закладывают в основу определения СФ.

Найдем саму величину отношения с/ш на выходе СФ при действии на его входе «своего» сигнала

, (6.17)

где Е – энергия «своего» сигнала,

N _О – односторонняя спектральная плотность мощности шума,

.

Таким образом, максимальное отношение с/ш на выходе СФ определяется энергией «своего» сигнала, независимо от его формы.

Определим отношение с/ш по мощности

,

где F _K – ширина полосы пропускания канала.

При совпадении ширины полосы пропускания канала с шириной спектра сигнала F _K = F_s имеем

.

Отсюда вытекает целесообразность выбора сигналов с большой базой 2 F_sT для передачи дискретных сообщений, что позволяет увеличить отношение с/ш при согласованной фильтрации.

 

Согласованная фильтрация и корреляционный прием

Некоторых типичных сигналов

Рассмотрим особенности когерентного приема некоторых сигналов и реализации соответствующих согласованных фильтров.

Прямоугольные видеоимпульсы

Сигнал в виде прямоугольного видеоимпульса s (t) (рис. 6.8,а) и импульсная характеристика g _СФ(t) согласованного с ним фильтра (рис. 6.8,б) описываются выражениями

Вычислим передаточную функцию СФ

.

Сомножитель представляет собой передаточную функцию интегратора, вычитаемое в скобках – передаточная функция элемента задержки на время Т, а сама скобка соответствует алгебраическому сумматору. В итоге приходим к схеме СФ, показанной на рис. 6.9.

Реакция СФ на прямоугольный импульс показана на рис. 6.8,в. Для сравнения на рис. 6.8,г показана реакция на тот же сигнал коррелятора (рис. 6.10).

Прямоугольные радиоимпульсы

Сигнал в виде прямоугольного радиоимпульса s (t) описывается выражением

Импульсная характеристика g _СФ(t) согласованного с ним фильтра на интервале

.

Такого рода импульсной характеристикой обладает колебательный контур с добротностью Q ® ¥, однако, у него она продолжается во времени неограниченно. Для «гашения» импульсной характеристики (реакции контура на воздействие d(t)) в момент t=T можно воспользоваться соответствующей коммутацией контура (рис. 6.11,а) или вычитанием самой задержанной на T реакции (рис. 6.11,б).

Прямоугольные радиоимпульсы и реакции на них СФ и коррелятора можно видеть на рис. 6.12, 6.19, 6.20 и 6.21.

 

 

Сложные двоичные сигналы

Рассмотрим сигналы в виде n -последовательностей импульсов прямоугольной формы положительной и отрицательной полярности с фиксированным размахом. Возможный вид такого сигнала при n = 7 показан на рис. 6.13,а. Усложнение сигнала объясняется желанием получить определенную (острую) форму отклика на выходе согласованного с ним фильтра и повысить отношение с/ш. Поскольку , то ясно – чем острее (короче) , тем шире спектр сигнала и больше его база. Сигналы такого рода удобно использовать в радиолокационных и в асинхронно адресных телекоммуникационных системах.

Синтез СФ для сложного двоичного сигнала произведем, отталкиваясь от его импульсной характеристики (рис. 6.13,б). Видно, что требуемую форму можно получить суммированием прямоугольных импульсов длительностью , сдвинутых на кратные интервалы времени, с соответствующими полярностями. Такие импульсы можно получить «размножением» единственного исходного П-импульса длительностью с помощью линии задержки (ЛЗ) с n отводами (через ), а сам П-импульс в качестве импульсной характеристики – на выходе фильтра (СФ_П), согласованного с ним по форме. Эти рассуждения приводят нас к схеме фильтра, называемого трансверсальным (ТФ) (рис. 6.14). В цепях отводов ЛЗ включены повторители или инверторы сигналов с коэффициентами передачи +1 или -1 соответственно.

Проанализируем импульсную характеристику ТФ со стороны входа А, как его реакцию на воздействие в виде d-функции. Поданная этот вход d-функция (рис. 6.15,а) появится на отводах ЛЗ с соответствующими задержками и после суммирования в сумматоре (с учетом полярности) создаст последовательность, показанную на рис. 6.15,б. На выходе СФ_П, согласованного с одиночным П-импульсом длительностью , каждая из этих d-функций вызовет реакцию (по определению – импульсную характеристику) в виде самого этого импульса. В результате получим на выходе ТФ n -последовательность, изображенную на рис. 6.15,в, т.е. рассмотренная схема работает как формирователь сложного двоичного сигнала (рис.6.14,а). Интересно, что при подаче d-функции на вход Б на выходе ТФ получим реакцию (смотри графики на рис. 6.15,г и 6.15,д), совпадающую с показанной на рис. 6.13,б. Таким образом, один и тот же ТФ можно использовать в качестве формирователя сложного двоичного сигнала (вход А) и в качестве согласованного с этим сигналом фильтра (вход Б).

Из двоичных n -последовательностей наибольший интерес представляют собой последовательности (коды) Баркера. Они обладают важным свойством

,

где В _БОК – величина боковых лепестков корреляционной функции,

В (0) – начальное значение корреляционной функции.

Показанная на рис. 6.14 двоичная последовательность как раз и является кодом Баркера при n = 7. Импульсную характеристику и реакцию фильтра, согласованного с семиэлементным кодом Баркера, на этот «свой» сигнал (смещенную на Т корреляционную функцию кода Баркера) можно видеть на рис. 6.22.

Произвольные F- финитные сигналы

Согласно теореме Котельникова сигналы с ограниченным частотой F спектром точно передаются последовательностью своих отсчетов, взятых через интервалы и, следовательно, могут быть заменены ступенчатой функцией (рис. 6.16,а), которая отличается от двоичного сигнала (рис. 6.13,а) только размахами отдельных П-импульсов длительностью . Отсюда вытекает возможность формирования такого рода сигналов и их согласованной фильтрации с помощью аналогового трансверсального фильтра (рис. 6.17, 6.24). Его схема отличается от схемы двоичного ТФ (рис. 6.14) только заменой фильтра, согласованного с П-ипульсом (СФ_П) на сглаживающий фильтр (ФНЧ с частотой верхнего среза F) и использованием в цепях отводов ЛЗ усилителей с коэффициентами усиления, пропорциональным отсчетам F- финитного сигнала.