Математическое ожидание дсв и его свойства

х1	х2	…	хi	…	хп
р1	р2	…	pi	…	рп

 

Пусть дана случайная величина Х:

 

 

Опр. Математическое ожидание дискретной случайной величины X равно сумме произведений значений случайной величины на соответствующие им вероятности:

(1)

 

Предположим, что подбрасывают монету. Если выпадет герб, выигрывают одно очко, если цифра, — проигрывают одно очко. Чему равен ожидаемый выигрыш? Интуитивно понятно, что шансы выиграть и проиграть одну и ту же сумму очков равны, и, следовательно, в среднем ожидаемый выигрыш будет равен нулю, Выигрыш в этой игре — случайная величина; можно вычислить ожидаемое значение, используя формулу (1):

х		-1
Р	1/2	½

М(Х)= 1 • 1/2 + (-1) • 1/2 = 0.

Поэтому математическое ожидание называют средним значением. Причина такого названия состоит в том, что среднее значение случайной величины есть оценка, которую ожидают получить.

 

Свойства математического ожидания ДСВ

1. Математическое ожидание постоянной величины равно этой постоянной:

М(С) = С.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:

М(СХ) = СМ(Х),

где С — постоянная.

3. Математическое ожидание алгебраической суммы конечного числа п случайных величин равно алгебраической сумме их математических ожиданий:

М(Х₁ ± Х₂ ±…± Х_п) = М(Х₁)±М(Х₂) ±…±М(Х_п).

4. Математическое ожидание произведения конечного числа п независимых случайных величин равно произведении¹ их математических ожиданий:

М(Х₁•Х₂•…•Х_п) = М(Х₁) •М(Х₂) •…•М(Х_п).

 

5. Если все значения случайной величины X уменьшить (увеличить) на одно и то же число с, то ее математическое ожидание уменьшится (увеличится) на то же число с:

М(Х ± С) = М(Х) ± М(С) = М(Х) ± С.

Следствие. Математическое ожидание отклонения значе­ний случайной величины X от ее математического ожида­ния равно нулю:

М[Х- М(Х)] = 0.

Дисперсия ДСВ и ее свойства

Для практических нужд бывает очень важно знать, как группируются значения случайных величины около ее математического ожидания.

Например:

1) при стрельбе из орудия важно, чтобы снаряды ложились кучнее;

2) при измерении какой-то величины важно, чтобы ошибки измерения как можно меньше отличались от их среднего значения.

Задача: Найти мат. ожидание случайной величины Х и У, которые заданы следующими распределениями:

Х:	xi	-0,1	0,1		Y:	yj	-100
	р i	½	1/2			р j	1/2	1/2

 

М(Х)= -0,1*1/2 + 0,1*1/2 = 0

М(У)=-100*1/2 + 100*1/2 = 0

 

Математическое ожидание ничего не говорит о том, как рассеяны значения случайной величины вокруг его среднего значения (0). Рассеяние случайной величины характеризуется дисперсией.

Опр. Дисперсией случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания

Теорема: Дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины и квадратом математического ожидания данной случайной величины

Задача. Число очков, выбиваемых при одном выстреле любого из двух стрелков, подчиняется следующим законам распределения

Х1:	xi				Число очков, выбиваемых 1 стрелком
	р i	0,3	0,2	0,5
Х2:	хj				Число очков, выбиваемых 2 стрелком
	р j	0,1	0,6	0,3

 

 

Кто стреляет лучше?

Так как речь идет о рассеянности, то нужно найти дисперсию

М(Х1) = 1 0,3 + 2 0,2 + 3 0,5 = 2,2

М(Х2) = 1 0,1 + 2 0,6 + 3 0,3 = 2,2

Х1:	xi ^2
	р i	0,3	0,2	0,5
Х2:	хj ^2
	р j	0,1	0,6	0,3

 

 

М(Х1²) = 1 0,3 + 4 0,2 + 9 0,5 = 5,6

М(Х2²) = 1 0,1 + 4 0,6 + 9 0,3 = 5,2

Д(Х1) = М(Х1²) - М²(Х1) = 5,6 – 2,2² = 0,76

Д(Х2) = М(Х2²) - М²(Х2) = 5,2 – 2,2² = 0,36

Ответ: лучше стреляет второй стрелок.

Свойства дисперсий

1. Дисперсия постоянной величины равна нулю.

Д(С) – М(С- М(С))² = М(С - С) ² = М(0) ² = 0

1. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возведя его в квадрат

Д(СХ) = С² Д(Х)

Доказательство:

Д(СХ) = М(СХ – М(СХ))² = М(СХ – СМ(Х))² = М(С(Х – М(Х)))² =

С²М(Х – М(Х))² = С² Д(Х)

1. Дисперсия суммы нескольких взаимно-независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин

Д(Х₁ ± Х₂ ± … ± Х_n) = Д(Х₁)+ Д(X₂) + … Д(Х_n),

где Х₁, Х₂, … Х_n – взаимно-незасвисимые величины.

1. Следствие: дисперсия суммы постоянной величины и случайной величины равна дисперсии случайной величины

Д(С + Х) = Д(Х)

Д(С+ Х) = Д(С+ Х)=Д(С) + Д(Х) = Д(Х)

Постоянная не дает рассеяние ее прибавление к случайной величине Х ведет лишь к смещению всех ее значений на одну и ту же постоянную величину, а рассеяние остается прежним.