Тема 20. Применение производной к исследованию функций и построению графиков

Задание 45. Найдите интервалы возрастания, убывания и экстремумы функции.

 

1. . 2. .

3. . 4. .

5. . 6. .

7. . 8. .

9. . 10. .

11. . 12. .

13. . 14. .

15. . 16. .

17. . 18. .

19. . 20. + 5.

21. . 22. + 1.

23. . 24. .

25. + 4.

 

Задание 46. Исследуйте функцию и постройте ее график.

 

 

1. . 2. .

3. . 4. .

5. . 6. .

7. . 8. .

9. . 10. .

11. . 12. .

13. . 14. .

15. . 16. .

17. . 18. .

 

19. . 20. .

21. . 22. .

23. . 24. .

 

25. .

 

Задание 47. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на заданном отрезке.

 

1. , . 2. , .

3. , . 4. , .

5. , . 6. , .

7. , . 8. , .

9. , . 10. , .

11. , . 12. , .

 

13. , . 14. , .

15. , . 16. , .

17. , . 18. , .

19. , . 20. , .

21. , . 22. , .

23. , . 24. , .

25. , .

 

Тема 21. Использование производной для решения

Прикладных задач

 

Задание 48. Решите задачи, используя производную.

 

1. Какое число при сложении со своим квадратом дает наименьшую сумму?

 

2. Найти наибольшую площадь прямоугольного участка, прилегающего с одной стороны к дому, который можно оградить решеткой длиной 120 м.

 

3. Требуется выделить прямоугольную площадку земли в 512 м², огородить ее забором и разделить загородкой на три равные части параллельно одной из сторон площадки. Каковы должны быть размеры площадки, чтобы на постройку заборов пошло наименьшее количество материала?

4. Производитель реализует свою продукцию в количестве х единиц по цене 12 у. е. за единицу, а издержки при этом задаются зависимостью С (х)= 3 х + 0,03 х ³. Найти оптимальный для производителя объем выпуска продукции и соответствующую ему прибыль.

5. Найти максимум прибыли, если доход R (x)и издержки S (x)определяются по формулам:

 

R (x)= 100 x - x², C (x) = x ³ – 37 x² +169 х + 4000.

Тема 22. Первообразная и интеграл

 

Задание 49. Найдите неопределенные интегралы.

 

1. а) ; б) ; в) .

2. а) ; б) ; в) .

3. а) ; б) ; в) .

4. а) ; б) ; в) .

5. а) ; б) ; в) .

6. а) ; б) ; в) .

7. а) ; б) ; в) .

8. а) ; б) ; в) .

9. а) ; б) ; в) .

10. а) ; б) ; в) .

11. а) ; б) ; в) .

12. а) ; б) ; в) .

13. а) ; б) ; в) .

14. а) ; б) ; в) .

15. а) ; б) ; в) .

16. а) ; б) ; в) .

17. а) ; б) ; в) .

18. а) ; б) в) .

19. а) ; б) ; в) .

20. а) ; б) ; в)

21. а) ; б) ; в) .

22. а) ; б) ; в) .

23. а) ; б) ; в) .

24. а) ; б) ; в) .

25. а) ; б) ; в) .

Задание 50. Вычислите определенные интегралы.

 

 

1. . 2. .

3. . 4. .

5. . 6. .

7. . 8. .

9. . 10. .

11. . 12. .

13. . 14. .

15. . 16. .

17. . 18. .

19. . 20. .

21. . 22. .

23. . 24. .

25. .

 

Тема 23. Применение определенных интегралов

 

Задание 51. Вычислите площади фигур, ограниченных заданными линиями. Сделать чертеж.

 

1. , .

2. , .

3. , , .

4. , , .

5. , .

6. , , , , .

7. , .

8. , , .

9. , .

10. , , , , .

11. , .

12. , .

13. , .

14. , .

15. , , .

16. , .

17. , .

18. , .

19. , .

20. , .

21. , .

22. , .

23. , .

24. , , .

25. , .

РАЗДЕЛ 3. КОМБИНАТОРИКА,

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И СТАТИСТИКА

 

Тема 24. Основные понятия комбинаторики.

Бином Ньютона

 

Задание 52. Вычислить значения выражений.

 

1. ; ; . 2. ; + . 3. ; + .

4. + . 5. ; 6. .

7. + . 8. + . 9. .

10. + + . 11. + + . 12. + + .

13. + . 14. ; 15. .

16. + . 17. + . 18. .

19. + + . 20. + + . 21. + + .

22. + . 23. ; 24. .

25. .

 

Задание 53. Представить выражение в виде многочлена.

 

1. (а + 2)⁵. 2. . 3. .

4. . 5. (а - 2)⁵. 6. .

7. . 8. . 9. (с + 2)⁵.

10. (а + 3)⁵. 11. . 12. .

13. . 14. . 15. .

16. (с + 2)⁵. 17. . 18. .

19. . 20. (3 а + 2)⁵. 21. .

22. . 23. . 24. (с + 3)⁵.

25. .

Задание 54. Решить задачи, используя формулы комбинаторики.

 

1. В конкурсе участвуют 12 фирм, из которых жюри должно выбрать три фирмы на 1-е, 2-е и 3-е места. Сколько вариантов решения жюри существует?

2. В соревнованиях по футболу принимают участие 8 команд. Сколько должно состояться матчей, чтобы команды встретились друг с другом по одному разу?

3. Сколькими способами можно распределить 6 пригласительных билетов в группе из 20 студентов?

4. В группе 5 студентов успешно занимаются по математике. Сколькими способами можно выбрать из них 3 студента для участия в олимпиаде?

5. Членами кооператива являются 10 человек. Из них нужно выбрать руководителя и его заместителя. Сколькими способами это можно сделать?

6. В почтовом отделении продаются открытки 16 видов. Требуется выбрать 4 различные открытки. Найти количество способов выбора.

7. Сколькими способами можно посадить 3 человека на 5 свободных мест в туристическом автобусе?

 

8. Сколькими способами в группе из 25 студентов можно назначить 2 дежурных?

 

9. В конкурсе участвуют 14 студенческих групп, из которых жюри должно выбрать три группы на 1-е, 2-е и 3-е места. Сколько вариантов решения жюри существует?

 

10. Из ящика, где находится 9 деталей, пронумерованных от 1 до 9, требуется вынуть 4 детали. Найти количество всевозможных комбинаций номеров вынутых деталей.

 

11. Сколько существует таких шестизначных чисел, которые начинаются с цифры 7, заканчиваются на 5, а все остальные цифры различны и меньше 5?

 

12. Сколько нужно построить дорог, соединяющих 8 городов друг с другом и не проходящих через остальные города?

 

13. Каждые две из шести производственных единиц соединены парой лент транспортеров, движущихся в противоположных направлениях. Чему равно общее число таких лент?

 

14. Сколько нужно словарей для непосредственного перевода с любого из четырех языков на любой другой?

 

15. Сколькими способами из 24 участников конференции можно избрать делегацию, состоящую из 4 человек?

 

16. В конкурсе участвуют 10 фирм, из которых жюри должно выбрать три фирмы на 1-е, 2-е и 3-е места. Сколько вариантов решения жюри существует?

 

17. Сколькими способами можно разместить 10 девушек в пять двухместных свободных номеров в гостинице?

18. Сколько пятизначных чисел можно составить из цифр 1; 2; 3; 4; 5, если каждая цифра входит в изображение числа только один раз?

 

19. В группе 5 студентов успешно занимаются по математике. Сколькими способами можно выбрать из них 3 студента для участия в олимпиаде?

 

20. Сколько нужно словарей для непосредственного перевода с любого из шести языков на любой другой?

 

21. Сколькими способами можно поместить 5 человек в 5 одноместных свободных номеров в гостинице?

 

22. Сколькими способами можно выбрать 3 детали из ящика, содержащего 15 деталей?

 

23. Сколькими способами можно расположить 2 белых шара в шести ячейках?

 

24. В библиотеке на книжной полке расставлены 8 книг различных авторов. Три студента могут выбрать по одной книге. Сколько существует вариантов выбора?

 

25. В магазине продавец предлагает покупателю 9 различных дисков. Покупатель может выбрать только 3 диска. Сколько существует способов выбора?