Математическая основа картографии. Картографические проекции

 

Картографическая проекция - математически определенный способ отображения поверхности эллипсоида на плоскости - устанавливает аналитическую зависимость (соответствие) между географическими координатами точек земного эллипсоида и прямоугольными координатами тех же точек на плоскости. Эта зависимость может быть выражена двумя уравнения вида:

X = fi (B,L), Y = f2 (B,L) - уравнения картографических проекций,

где X и У - прямоугольные координаты; В и L - географические координаты.

Поверхность эллипсоида (или шара) нельзя развернуть на плоскости подобно поверхности конуса или цилиндра. Поэтому непрерывность и однозначность изображения достигается за счет неравномерного растяжения (или сжатия), т.е. деформации поверхности эллипсоида при совмещении ее с плоскостью. Отсюда следует, что масштаб плоского изображения не может быть постоянным.

Доказано, что бесконечно малая окружность на поверхности эллипсоида в общем случае изображается на плоскости эллипсом, называемым эллипсом искажений.

Картографическим искажением называют нарушение геометрических свойств участков земной поверхности и расположенных на них объектов при их изображении на плоскости. Искажениями могут быть длины линий, горизонтальные углы между определенными направлениями, формы и размеры площади, занимаемой участком или объектом.

Различают главный масштаб, равный масштабу модели земного эллипсоида, уменьшенного в заданном отношении для изображения на плоскости и прочие масштабы, называемые частными.

Частный масштаб определяется как отношение бесконечно малого отрезка на карте (на плоскости) к соответствующему отрезку на поверхности эллипсоида . Отношение этих величин характеризует искажение длин.

Искажение площадей - это отношение площади эллипса искажений dP' к площади dP соответствующего бесконечно малого круга на эллипсоиде, обозначаемое через P.

Искажением угла называют разность между углом, образованным двумя линиями на эллипсоиде и изображением этого угла на карте.

В любой точке на поверхности эллипсоида имеются два взаимоперпендикулярных направления (называемых главными), которые в проекции также изображаются взаимоперпендикулярными линиями, совпадающими с большой и малой осями эллипса искажений (рисунок 1).

 

Рисунок 1 –Эллипс искажений

 

Очевидно, в эллипсе искажений наибольший масштаб совпадает с направлением наибольшей оси эллипса, а наименьший с направлением малой оси.

Эти масштабы по главным направлениям, выраженные в отношении к главному масштабу, обозначают соответственно через а и b, но главные направления могут не совпадать с меридианами и параллелями (и их изображением в проекции). В таком случае масштабы по меридианам и параллелям; обозначают в соответствии через т и п.

Классификация картографических проекций по характеру

Искажений

По свойствам изображенной картографической сетки, проекции делят на равновеликие, равноугольные и произвольные.

Равновеликими называют проекции, в которых масштаб площади имеет повсюду одну и ту же величину. Это свойство равновеликой проекции можно выразить формулой P = a - b = Const = 1.

Следствием равновеликости этих проекций является сильное искажение у них углов и форм, что хорошо поясняют эллипсы искажений (рисунок 2.А)

В равноугольных проекциях масштабы длин в любой точке одинаковы, поэтому у них нет искажения формы бесконечно малых фигур и нет искажения углов. У равноугольных проекций наблюдается особенно большие искажения площадей (рисунок 2.Б)

Произвольными называются картографические проекции с искажениями и углов, и форм и площадей, но величина каждого вида этих искажений обычно не так велика, как у других проекций (рисунке 2.В).

 

 

А Б В Г Д

 

А – вид эллипсов искажений в равновеликих проекциях, Б - в равноугольных проекциях, В - в произвольных проекциях, Г - в равнопромежуточных по параллели, Д - в равнопромежуточных по меридиану.

На схемах показано искажение угла 45°.

Рисунок 2 – Эллипсы искажений в различных проекциях

 

Среди произвольных картографических проекций выделяют группу равнопромежуточных, у которых масштаб длин вдоль одного из главных направлений сохраняется (остается неизменным).

На (рисунке 2.Г) показаны эллипсы искажений равнопромежуточные по параллели

По своим свойствам равнопромежуточные проекции находятся между равноугольными и разновеликими.