Раскрытие неопределенностей. Замечательные пределы

 

К неопределенностям относятся выражения вида: , , ¥ - ¥, 0×¥, ¥⁰, 1^¥, 0⁰, которые появляются при подстановке предельного значения переменной. Нахождение предела функций в таких случаях называют раскрытием неопределенностей.

Пример.

Найти: 1) ; 2) ; 3) .

Имеем неопределенности вида , разделим числитель и знаменатель на х с наибольшим показателем степени числителя и знаменателя.

1) =

= = ( + ): () = = = - 2.

2)

=

3)

=

так как знаменатель дроби является бесконечно малой величиной при , тогда является бесконечно большой величиной; числитель дроби является функцией, предел которой равен 6 при , функция под знаком предела является бесконечно большой величиной, искомый предел равен .

Пример. .

Подставим предельное значение х = 2, получим неопределенность . Для раскрытия этой неопределенности разложим числитель и знаменатель дроби на множители.

= = = - .

Пример.

Имеем неопределенность вида ( – ). Приведем дроби к общему знаменателю.

, т.к. знаменатель дроби () при является бесконечно малой величиной, тогда – бесконечно большая величина; числитель дроби () является функцией, предел которой при равен –5, функция является бесконечно большой величиной при , предел равен .

 

Первым замечательным пределом называется = 1.

Вторым замечательным пределом называется:

= (1+y) = e.

Пример. .

При х®0 имеем неопределенность , воспользуемся первым замечательным пределом, умножим и разделим дробь на число 3.

= = = ×1 = .

Пример. .

Имеем неопределенность 1^¥. Воспользуемся вторым замечательным пределом.

= = = e².

 

Непрерывность функции

 

Функция f(х) называется непрерывной в точке х₀ , если:

1) она определена в этой точке и в ее окрестности;

2) имеет конечный предел при ;

3) этот предел равен значению функции в точке х₀ , то есть

f (x) = f (x₀ ).

Для непрерывной функции возможна перестановка символов предела и функции f (x) = f ( х).

Если хотя бы одно из этих условий не выполняется, то функция называется разрывной в точке х₀, а сама точка х₀ называется точкой разрыва функции.

Если существуют односторонние пределы, но не равны между собой, f(x) ≠ f (x), то х₀ – точка разрыва первого рода.

Если хотя бы один из односторонних пределов не существует (¥), то х₀ – точка разрыва второго рода.

Сумма, произведение, частное непрерывных функций есть непрерывная функция.

Пример.

Исследовать на непрерывность функцию

Функция задана различными аналитическими выражениями на интервалах (-¥, 0) и [ 0, ¥). Исследуем точку х = 0, найдем односторонние пределы:

f (x) = = -2,

f (x) = x = 0.

Односторонние пределы существуют, но не равны, поэтому х = 0 – точка разрыва первого рода.

Примеры для самостоятельной работы

1. Вычислить:

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) ; е) (1+2х ) ; ж) .

 

2. Исследовать на непрерывность функции:

а) б) .

 

ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ

Производная функции

 

Производной функции у = f (x) по аргументу х называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю:

у¢ = = .

Операция нахождения производной f ¢(x) называется дифференцированием.

Геометрический смысл производной: производная f ¢(x₀) есть угловой коэффициент касательной, проведенной к кривой f(x) в точке x₀ , то есть k = tg a = f ¢(x₀).

Уравнение касательной имеет вид:

у - f (x₀) = f ¢(x₀) (x - x₀ ).

Таблица производных и основные правила дифференцирования:

1. C ¢ = 0 2. (U + V) ¢ = U ¢ + V ¢

3. (UV) ¢ = U ¢ V + U V ¢ 4. (CU) ¢ = C U ¢

5. 6.

7. (xⁿ) ¢ = n x ^n-1 8. x ¢ = 1

9. 10.

11. (a ^x) ¢ = a ^x ln a 12. (e ^x) ¢ = e ^x

13. (log _a x)¢ = 14. (ln x) ¢ =

15. (sin x) ¢ = cos x 16. (cos x) ¢ = – sin x

17. (tg x) ¢ = 18. (ctg x) ¢ =

19. (arcsin x) ¢ = 20. (arccos x) ¢ =

21. (arctg x) ¢ = 22. (arcctg x) ¢ =

Примеры: Найти производные функций:

1) у = х³ + 5е ^x + sin x.

По формулам (2), (4), (7), (12), (15) имеем:

у ¢ = (x³ + 5e ^x + sin x)¢ = (x ³)¢ + (5e ^x)¢ + (sin x)¢ = 3x² + 5e ^x + cos x

2) y = (x⁴ - 6x² + 1) ln x.

По формулам (1) – (3), (7), (14) имеем

у ¢ = (х⁴ -6х² + 1)¢ ln x + (x⁴ -6x² + 1) (ln x)¢ = (4x³-12x) ln x +

+ (x⁴ -6x² +1) .

 

Производная сложной функции

 

Если y есть функция переменной u, а переменная u есть функция переменной x, то y есть функция переменной x, то есть y = f (u), u = (x), y = f(u(x)) называется сложной функцией.

Производная сложной функции определяется по формуле:

у ¢ = f ¢_u ∙ u ¢_x. (23)

Примеры. Найти производные функций:

1) y = cos (x²).

По формулам (23), (16), (7) имеем:

у ¢= - sin (x²) (x²)¢= - sin (x²) 2x = - 2x ∙ sin(x²).

2) y = arctg (e ^2x).

По формулам (23), (21), (12), (4) имеем

у ¢= (e ^2x)¢= e ^2x (2x)¢ = .

 

3)

По формулам (23), (17), (9), (14), (16), (4) имеем

Производные высших порядков

 

Производная от производной y ¢= f ¢(x) называется второй производной, то есть y ¢¢ = (f ¢(x))¢ = f ¢¢(x).

Производная n-ого порядка – это производная от производной (n - 1) порядка

f ⁽ⁿ⁾ (x) = (f (x))¢.

Пример. Найти производную второго порядка: у = е .

Находим первую производную у ¢= 3е ^3х, затем

у ¢¢ = (3е )¢ = 3е ∙ 3 = 9е .

 

 

Дифференциалы функции

 

Дифференциалом dy функции у = f (x) называется произведение производной этой функции на приращение независимой переменной Dх:

dy = f ¢(x) Dx

Так как dx = Dx, то dy = f ¢ (x) dx, поэтому f ¢(x) = .

Геометрически дифференциал функции есть приращение ординаты касательной, проведенной к графику функции у = f (x).

Свойства дифференциала аналогичны свойствам производной.

Дифференциалом второго порядка d²y функции у = f (x) называется дифференциал от дифференциала первого порядка этой функции

d²y = d(dy) = f ¢¢(x) dx².

Пример. Найти дифференциалы функции:

у = sin x.

Найдем dy = f ¢(x) dx = cos x dx, затем d²y = d (dy) = – sinx dx².

 

Правило Лoпиталя

 

Предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных, если последний существует.

= .

Пример. = = = = = 0.

 

Применили правило Лoпиталя дважды.

Правило Лoпиталя позволяет раскрыть все виды неопределенностей и может быть применено несколько раз.

 

Примеры для самостоятельной работы

1. Найти :

а) у = (х² - 3х + 5)⁴; б) у = arcsin e ^5х; в) у = log (x - cos x).

2. Найти dy функции:

а) у = 2 ^{sin (3x + 1)}; б) у = sin³(x + ).

3. Найти d²y:

а) y = sin²x; б)

4. Найти пределы:

а) ; б) ;

в) ; г) .