Из этой системы обратным ходом метода Гаусса находим

х₄ = 1; х₃ = 5 - 8х₄ = 5 - 8×1 = - 3;

х₂ = (-5 -9х₃ - 17х₄) = (-5 -9×(-3) - 17×1) = 1;

х₁ = 3+2х₂ + 2х₃ + 3х₄ = 3 + 2×1 + 2×(-3) + 3×1 = 2.

Ответ: (2; 1; -3; 1).

 

 

Задание 3. Даны координаты вершин треугольника АВС. Требуется найти: 1) длину стороны ВС; 2) уравнение линии ВС; 3) уравнение высоты, проведенной из точки А; 4) величину угла В; 5) проекцию вектора на вектор ; 6) систему неравенств, определяющих треугольник АВС. Сделать чертеж по координатам точек.

 

А(2; -1)

 

В(5; 3)

 

С(-6; 5)

 

 

1) Найдем координаты вектора

= (-6 -5; 5 - 3) = (- 11; 2).

Длина стороны ВС как длина вектора равна

.

2) Составим уравнение линии ВС, пользуясь каноническим уравнением прямой, М₀(х₀; у₀) = С(5; 3), .

, преобразуем его 2х - 10 = -11у + 33,

2х + 11у - 43 = 0 - уравнение прямой ВС.

3) Составим уравнение высоты АЕ, зная точку А(2; -1) и условие перпендикулярности прямой

,

у - у₀ = k(х - х₀) - уравнение прямой, проходящей через данную т. М₀(х₀; у₀) с угловым коэффициентом k.

у -(- 1) = (х - 2) или 2у + 2 = 11х - 22,

11х - 2у - 24 = 0 - уравнение высоты АЕ.

4) Угол В образован векторами и , причем = (-11; 2),

= (2 - 5; -1 - 3) = (-3; -4),

,

a = ÐВ = arccos - острый.

5) Найдем проекцию на по формуле

, =(–8; 6), =(3; 4).

.

6) Находим уравнения сторон АВ и АС, используя каноническое уравнение.

АВ: А(2; -1); = (3; 4); ; 4х - 8 = 3у + 3

или 4х - 3у - 11 = 0 уравнение прямой АВ.

АС: А(2; -1); = (-8; 6); ; 6х - 12 = -8у -8

или 3х + 4у - 2 = 0 уравнение прямой АС.

Для того, чтобы определить область треугольника АВС, находим полуплоскость относительно каждой стороны DАВС, подставляя в ее уравнение координаты соответствующей точки.

ВС: 2х + 11у - 43 = 0, А (2; -1), имеем

2×2 + 11×(-1) - 43 = -50 < 0;

АС: 3х + 4у - 2 = 0, В (5; 3),

3×5 + 4×3 - 2 = 25 > 0;

АВ: 4х - 3у - 11 = 0, С (-6; 5),

4 (- 6) - 3×5- 11 = -50 < 0.

Система неравенств, определяющая треугольник АВС:

 

Задание 4. Найти пределы функции, не применяя правило Лопиталя.

а) = 2,

разделили числитель и знаменатель дроби на х²,

, .

в) =

=

= = .

Умножили числитель и знаменатель дроби на сопряженный множитель , затем разложили на множители, сократили на (х - 7).

с) =

= .

По формуле половинного аргумента преобразовали числитель и воспользовались формулой 1-го замечательного предела.

1, .

 

Задание 5. Найти данных функций:

а) . Находим производную частного функций:

=

= =

 

= .

в) у = (х + 1) ×arctg , находим производную произведения функций:

+ =

= arctg + (х + 1)× = arctg + .

с) у = (х + ln sin х)³.

Находим производную сложной функции у = f (u (x)), ,

= =

= 3 × (x + ln sin x)² × (1 + ctg x).

 

 

Задание 6. Исследовать функцию и построить ее график: .

1) Находим область определения функции D: (-¥; 0) È (0; ¥).

2) Находим асимптоты графика:

При х = 0 функция не определена. Найдем односторонние пределы при х®0:

и ,

 

следовательно, прямая х=0 – вертикальная асимптота.

у = kx + b – наклонная асимптота,

k= = = ,

числитель и знаменатель дроби разделили на х³.

= = ,

 

у = 2 - горизонтальная асимптота.

3) Точки пересечения с осями:

При у = 0 имеем или , отсюда

х₁ = 0,5; х₂ = -3.

4) Четность, нечетность:

f (-x) = ,

f (- x) ≠ f (x) и f (- x) ≠ - f (x), значит, функция f (x) не является ни четной, ни нечетной.

 

5) Возрастание, убывание, экстремумы:

;

у¢ = 0, то 6 - 5х = 0, х = 1,2;

у¢ = ¥, х = 0 Ï D;

 

 

х = 1,2 точка максимума и f _max = .

6) Выпуклость, вогнутость, точки перегиба.

,

у¢¢ = 0, то 10х - 18 = 0; х = 1,8

у¢¢ = ¥; х = 0 Ï D.

 

 

- точка перегиба графика функции.

 

 

График функции изображен на рисунке:

 

ВОПРОСЫ ДЛЯ ЭКЗАМЕНА

 

1. Матрица (квадратная, единичная, нулевая, треугольная), размер, порядок матрицы.

2. Действия с матрицами (умножение на число, сложение, вычитание, умножение, транспонирование). Свойства действий с матрицами.

3. Определители второго и третьего порядков.

4. Миноры и алгебраические дополнения. Теорема о разложении определителя по строке (столбцу).

5. Свойства определителей.

6. Обратная матрица.

7. Системы линейных уравнений.

8. Правило Крамера.

9. Метод Гаусса.

10. Ранг матрицы.

11. Теорема Кронекера-Капелли.

12. Определение вектора, линейные операции над векторами.

13. Проекция вектора на ось. Теоремы о проекциях.

14. Действия над векторами, заданными своими координатами.

15. Скалярное произведение векторов, его свойства.

16. Условия коллинеарности и перпендикулярности векторов.

17. Прямая линия на плоскости. Каноническое, общее уравнения прямой, уравнение прямой с угловым коэффициентом, уравнение прямой, проходящей через две точки.

18. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.

19. Каноническое уравнение окружности, эллипса.

20. Каноническое уравнение гиперболы, параболы.

21. Предел функции в точке.

22. Бесконечно малая и бесконечно большие функции. Свойства бесконечно малых функций.

23. Основные теоремы о пределах.

24. Непрерывность функции, точки разрыва.

25. Производная функции. Геометрический смысл производной.

26. Дифференцируемость функции. Теорема о связи дифференцируемой и непрерывной функции.

27. Основные правила вычисления производных, таблица производных.

28. Производная сложной функции.

29. Производные высших порядков.

30. Дифференциал функции. Геометрический смысл дифференциала.

31. Правило Лопиталя.

32. Возрастание и убывание функции. Необходимое и достаточное условия экстремума.

33. Выпуклость, вогнутость кривой. Необходимое и достаточное условия существования точек перегиба.

34. Асимптоты графика функции.

35. Полная схема исследования функции.

 

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов / Н.Ш.Кремер, Б.А.Путко, И.М.Тришин, М.Н.Фридман. Под ред. Н.Ш.Кремера. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 1999. – 471 с.
2. Практикум по высшей математике для экономистов: Учеб. пособие для вузов / Н.Ш.Кремер, Б.А.Путко, И.М.Тришин и др.; Под ред. Н.Ш.Кремера. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2003. –423 с.
3. Кузнецов Б.Т. Математика: Учебник для студентов вузов, обучающихся по специальностям экономики и управления (060000) / Б.Т.Кузнецов. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2004. – 719 с.
4. Просветов Г.И. Математика в экономике: Задачи и решения. 2-е изд. – М.: Изд-во РДЛ, 2005. – 360 с.
5. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. Ч.1. – 2-е изд., испр. – М.: Айрис-пресс, 2003. – 288 с.
6. Гусак А.А. Справочное пособие по решению задач: аналитическая геометрия и линейная алгебра. – Мн.: ТетраСистемс, 1998. – 288 с.
7. Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. – М.: Наука, 1975. – 240 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ

 

1. МАТРИЦЫ. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. СИСТЕМЫ

ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ............................................................................... 3

1.1. Матрицы. Действия с матрицами....................................................... 3

1.2. Свойства действий с матрицами......................................................... 7

1.3. Определители. Свойства определителей......................................... 7

1.4. Обратная матрица................................................................................. 12

1.5. Ранг матрицы.......................................................................................... 15

1.6. Системы линейных уравнений.......................................................... 17

1.7. Правило Крамера.................................................................................. 17

1.8. Метод Гаусса......................................................................................... 20

1.9. Теорема Кронекера-Капелли............................................................ 24

2. ВЕКТОРЫ НА ПЛОСКОСТИ.. 25

2.1. Векторы, линейные операции над векторами. 25

2.2. Проекция вектора на ось. Теоремы о проекциях. 27

2.3. Действия над векторами, заданными своими координатами..28

2.4. Скалярное произведение векторов, его свойства. 30

3. ПРЯМАЯ ЛИНИЯ НА ПЛОСКОСТИ.. 34

4. КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА.. 38

5. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ. 42

5.1. Предел функции. Бесконечно малая

и бесконечно большая функции. 42

5.2. Теоремы о пределах. 43

5.3. Раскрытие неопределенностей. Замечательные пределы.. 44

5.4. Непрерывность функции. 47

6. ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ.. 49

6.1. Производная функции……………………………………………49

6.2. Производная сложной функции. 50

6.3. Производные высших порядков. 51

6.4. Дифференциалы функции. 51

6.5. Правило Лoпиталя. 52

6.6. Возрастание и убывание функции. Локальные экстремумы.. 53

6.7. Выпуклость, вогнутость кривой. Точки перегиба. 54

6.8. Асимптоты графика функции. 55

6.9. Полная схема исследования функции…………………………..55

7. ЗАДАЧИ ДЛЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ.............................................. 58

8. ОБРАЗЕЦ ВЫПОЛНЕНИЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ... 66

9. ВОПРОСЫ ДЛЯ ЭКЗАМЕНА..................................................................... 75

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ.................................................................................. 76